En la teoría de modelos y áreas relacionadas de las matemáticas , un tipo es un objeto que describe cómo podría comportarse un elemento (real o posible) o una colección finita de elementos en una estructura matemática . Más precisamente, es un conjunto de fórmulas de primer orden en un lenguaje L con variables libres x 1 , x 2 ,..., x n que son verdaderas para un conjunto de n -tuplas de una L -estructura . Dependiendo del contexto, los tipos pueden ser completos o parciales y pueden usar un conjunto fijo de constantes, A , de la estructura . La pregunta de qué tipos representan elementos reales de conduce a las ideas de modelos saturados y tipos omitidos .
Consideremos una estructura para un lenguaje L . Sea M el universo de la estructura. Para cada A ⊆ M , sea L ( A ) el lenguaje obtenido a partir de L añadiendo una constante c a para cada a ∈ A . En otras palabras,
Un 1-tipo (de ) sobre A es un conjunto p ( x ) de fórmulas en L ( A ) con como máximo una variable libre x (por lo tanto, 1-tipo) tal que para cada subconjunto finito p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) existe algún b ∈ M , dependiendo de p 0 ( x ), con (es decir, todas las fórmulas en p 0 ( x ) son verdaderas en cuando x se reemplaza por b ).
De manera similar, un n -tipo (de ) sobre A se define como un conjunto p ( x 1 ,..., x n ) = p ( x ) de fórmulas en L ( A ), cada una con sus variables libres ocurriendo solo entre las n variables libres dadas x 1 ,..., x n , tales que para cada subconjunto finito p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) hay algunos elementos b 1 ,..., b n ∈ M con .
Un tipo completo de sobre A es aquel que es máximo con respecto a la inclusión . Equivalentemente, para cada o . Cualquier tipo no completo se denomina tipo parcial . Por lo tanto, la palabra tipo en general se refiere a cualquier n -tipo, parcial o completo, sobre cualquier conjunto elegido de parámetros (posiblemente el conjunto vacío).
Se dice que un p ( x ) de tipo n esse realiza en si hay un elemento b ∈ M n tal que . La existencia de tal realización está garantizada para cualquier tipo por el teorema de compacidad , aunque la realización podría tener lugar en alguna extensión elemental de , en lugar de en sí misma. Si un tipo completo se realiza por b en , entonces el tipo se denota y se hace referencia a él típicamente como el tipo completo de b sobre A .
Se dice que un tipo p ( x ) está aislado por , para , si para todo tenemos . Dado que los subconjuntos finitos de un tipo siempre se realizan en , siempre hay un elemento b ∈ M n tal que φ ( b ) es verdadero en ; es decir , por lo tanto b realiza todo el tipo aislado. Por lo tanto, los tipos aislados se realizarán en cada subestructura o extensión elemental. Debido a esto, los tipos aislados nunca se pueden omitir (ver más abajo).
Un modelo que realiza la máxima variedad posible de tipos se denomina modelo saturado , y la construcción de ultrapotencia proporciona una forma de producir modelos saturados.
Consideremos el lenguaje L con un símbolo de relación binaria , que denotamos como . Sea la estructura para este lenguaje, que es el ordinal con su ordenamiento estándar . Sea la teoría de primer orden de .
Consideremos el conjunto de L (ω)-fórmulas . Primero, afirmamos que este es un tipo. Sea un subconjunto finito de . Necesitamos encontrar un que satisfaga todas las fórmulas en . Bueno, podemos simplemente tomar el sucesor del ordinal más grande mencionado en el conjunto de fórmulas . Entonces este contendrá claramente todos los ordinales mencionados en . Por lo tanto, tenemos que es un tipo. A continuación, observe que no se realiza en . Porque, si lo fuera, habría alguno que contuviera cada elemento de . Si quisiéramos realizar el tipo, podríamos estar tentados a considerar la estructura , que es de hecho una extensión de que realiza el tipo. Desafortunadamente, esta extensión no es elemental, por ejemplo, no satisface . En particular, la oración se satisface por esta estructura y no por .
Así pues, deseamos realizar el tipo en una extensión elemental. Podemos hacerlo definiendo una nueva L -estructura, que denotaremos . El dominio de la estructura será donde es el conjunto de números enteros adornados de tal manera que . Sea , el orden habitual de . Interpretamos el símbolo en nuestra nueva estructura por . La idea es que estamos añadiendo una " -cadena", o copia de los números enteros, sobre todos los ordinales finitos. Claramente, cualquier elemento de realiza el tipo . Además, se puede verificar que esta extensión es elemental.
Otro ejemplo: el tipo completo del número 2 sobre el conjunto vacío, considerado como miembro de los números naturales, sería el conjunto de todos los enunciados de primer orden (en el lenguaje de la aritmética de Peano ), que describen una variable x , que son verdaderos cuando x = 2. Este conjunto incluiría fórmulas como , , y . Este es un ejemplo de tipo aislado, ya que, trabajando sobre la teoría de los naturales, la fórmula implica todas las demás fórmulas que son verdaderas sobre el número 2.
Como ejemplo adicional, las declaraciones
y
que describen la raíz cuadrada de 2 son consistentes con los axiomas de cuerpos ordenados y pueden extenderse a un tipo completo. Este tipo no se realiza en el cuerpo ordenado de los números racionales, pero sí en el cuerpo ordenado de los reales. De manera similar, el conjunto infinito de fórmulas (sobre el conjunto vacío) {x>1, x>1+1, x>1+1+1, ...} no se realiza en el cuerpo ordenado de los números reales, pero sí en el cuerpo ordenado de los hiperreales . De manera similar, podemos especificar un tipo que se realiza mediante un hiperreal infinitesimal que viola la propiedad de Arquímedes .
La razón por la que resulta útil restringir los parámetros a un determinado subconjunto del modelo es que ayuda a distinguir los tipos que se pueden satisfacer de los que no. Por ejemplo, si se utiliza todo el conjunto de números reales como parámetros, se podría generar un conjunto incontablemente infinito de fórmulas como , , ... que descartarían explícitamente todos los valores reales posibles para x y, por lo tanto, nunca podrían realizarse dentro de los números reales.
Es útil considerar el conjunto de n -tipos completos sobre A como un espacio topológico . Considérese la siguiente relación de equivalencia sobre fórmulas en las variables libres x 1 ,..., x n con parámetros en A :
Se puede demostrar esto si y sólo si están contenidos en exactamente los mismos tipos completos.
El conjunto de fórmulas en variables libres x 1 ,..., x n sobre A hasta esta relación de equivalencia es un álgebra de Boole (y es canónicamente isomorfa al conjunto de subconjuntos A definibles de M n ). Los n -tipos completos corresponden a ultrafiltros de esta álgebra de Boole. El conjunto de n -tipos completos puede convertirse en un espacio topológico tomando los conjuntos de tipos que contienen una fórmula dada como base de conjuntos abiertos . Esto construye el espacio de Stone asociado al álgebra de Boole, que es un espacio compacto , de Hausdorff y totalmente desconectado .
Ejemplo . La teoría completa de cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0 tiene eliminación de cuantificadores , lo que permite demostrar que los posibles 1-tipos completos (sobre el conjunto vacío) corresponden a:
En otras palabras, los 1-tipos corresponden exactamente a los ideales primos del anillo de polinomios Q [ x ] sobre los racionales Q : si r es un elemento del modelo de tipo p , entonces el ideal correspondiente a p es el conjunto de polinomios con r como raíz (que es el polinomio cero solo si r es trascendental). De manera más general, los n -tipos completos corresponden a los ideales primos del anillo de polinomios Q [ x 1 ,..., x n ], es decir, a los puntos del espectro primo de este anillo. (La topología del espacio de Stone puede de hecho ser vista como la topología de Zariski de un anillo booleano inducido de manera natural a partir del álgebra de Boole. Si bien la topología de Zariski no es en general de Hausdorff, sí lo es en el caso de los anillos booleanos.) Por ejemplo, si q ( x , y ) es un polinomio irreducible en dos variables, hay un 2-tipo cuyas realizaciones son (informalmente) pares ( x , y ) de elementos con q ( x , y )=0.
Dado un p de tipo n completo , se puede preguntar si existe un modelo de la teoría que omita p , en otras palabras, no existe ninguna n -tupla en el modelo que realice p . Si p es un punto aislado en el espacio de Stone, es decir, si { p } es un conjunto abierto, es fácil ver que todo modelo realiza p (al menos si la teoría es completa). El teorema de omisión de tipos dice que, a la inversa, si p no está aislado, entonces existe un modelo contable que omite p (siempre que el lenguaje sea contable).
Ejemplo : En la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0, existe un 1-tipo representado por elementos que son trascendentales sobre el cuerpo primo Q. Este es un punto no aislado del espacio de Stone (de hecho, el único punto no aislado). El cuerpo de números algebraicos es un modelo que omite este tipo, y el cierre algebraico de cualquier extensión trascendental de los racionales es un modelo que realiza este tipo.
Todos los demás tipos son "números algebraicos" (más precisamente, son los conjuntos de enunciados de primer orden satisfechos por algún número algebraico dado), y todos estos tipos se realizan en todos los campos algebraicamente cerrados de característica 0.
