Óvalo (plano proyectivo)

Conjunto de puntos en forma de círculo en un plano geométrico

A la definición de un óvalo:
e: línea exterior (de paso),
t: tangente,
s: secante

En geometría proyectiva, un óvalo es un punto situado en un plano definido por propiedades de incidencia . Los ejemplos estándar son las cónicas no degeneradas . Sin embargo, una cónica sólo se define en un plano papio , mientras que un óvalo puede existir en cualquier tipo de plano proyectivo. En la literatura existen muchos criterios que implican que un óvalo es una cónica, pero hay muchos ejemplos, tanto infinitos como finitos, de óvalos en planos papios que no son cónicas.

Como se mencionó, en geometría proyectiva un óvalo se define por propiedades de incidencia, pero en otras áreas, los óvalos pueden definirse para satisfacer otros criterios, por ejemplo, en geometría diferencial por condiciones de diferenciabilidad en el plano real .

El análogo de dimensiones superiores de un óvalo es un ovoide en un espacio proyectivo .

Una generalización del concepto de óvalo es un óvalo abstracto , que es una estructura que no necesariamente está incrustada en un plano proyectivo. De hecho, existen óvalos abstractos que no pueden estar en ningún plano proyectivo.

Definición de óvalo

• En un plano proyectivo un conjunto Ω de puntos se llama óvalo , si:

1. Cualquier línea l corta a Ω en como máximo dos puntos, y
2. Para cualquier punto P ∈ Ω existe exactamente una recta tangente t que pasa por P , es decir, t ∩ Ω = { P }.

Cuando | l ∩ Ω | = 0 la recta l es una recta exterior (o pasante ), ^[1] si | l ∩ Ω | = 1 una recta tangente y si | l ∩ Ω | = 2 la recta es recta secante .

Para planos finitos (es decir, el conjunto de puntos es finito) tenemos una caracterización más conveniente: ^[2]

• Para un plano proyectivo finito de orden n (es decir, cualquier línea contiene n + 1 puntos), un conjunto Ω de puntos es un óvalo si y sólo si | Ω | = n + 1 y no hay tres puntos colineales (en una línea común).

Un conjunto de puntos en un plano afín que satisface la definición anterior se llama óvalo afín .

Un óvalo afín es siempre un óvalo proyectivo en el cierre proyectivo (agregando una línea en el infinito) del plano afín subyacente.

Un óvalo también puede considerarse como un conjunto cuadrático especial . ^[3]

Ejemplos

Secciones cónicas

cónica proyectiva en coordenadas no homogéneas: parábola más punto en el infinito del eje

cónica proyectiva en coordenadas no homogéneas: hipérbola más puntos en el infinito de las asíntotas

En cualquier plano proyectivo papiano existen secciones cónicas proyectivas no degeneradas y cualquier sección cónica proyectiva no degenerada es un óvalo. Esta afirmación se puede verificar mediante un cálculo sencillo para cualquiera de las cónicas (como la parábola o la hipérbola ).

Las cónicas no degeneradas son óvalos con propiedades especiales:

• El teorema de Pascal y sus diversas degeneraciones son válidos.
• Hay muchas proyectividades que dejan una invariante cónica.

Óvalos, que no son cónicas.

en el avión real

1. Si pegamos la mitad de un círculo y la mitad de una elipse suavemente , obtenemos un óvalo no cónico.
2. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una parábola más un punto en el infinito y se reemplaza la expresión x ² por x ⁴ , se obtiene un óvalo que no es una cónica.
3. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una hipérbola más dos puntos en el infinito y se reemplaza la expresión1/Xpor1/x3^​, se obtiene un óvalo que no es cónico.
4. La curva implícita x ⁴ + y ⁴ = 1 es un óvalo no cónico.

en un plano finito de orden par

1. En un plano papiano finito de orden par, una cónica no degenerada tiene un núcleo (un único punto por el que pasa cada tangente), que puede intercambiarse con cualquier punto de la cónica para obtener un óvalo que no es una cónica.
2. Para el campo K = GF(2 ^m ) con elementos de 2 ^{m , sea}

${\displaystyle \Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}}$

Para k ∈ {2,..., m − 1} y k y m coprimos, el conjunto Ω es un óvalo, que no es una cónica. ^{[4] [5]}

Se pueden encontrar más ejemplos finitos aquí: ^[6]

Criterios para que un óvalo sea cónico

Para que un óvalo sea cónico, el óvalo y/o el plano deben cumplir condiciones adicionales. Aquí hay algunos resultados:

1. Un óvalo en un plano proyectivo arbitrario, que cumple la condición de incidencia del teorema de Pascal o su degeneración en 5 puntos, es una cónica no degenerada. ^[7]
2. Si Ω es un óvalo en un plano proyectivo pappiano y el grupo de proyectividades que dejan invariante a Ω es 3-transitivo, es decir, para 2 triples A ₁ , A ₂ , A ₃  ; B ₁ , B ₂ , B ₃ de puntos existe una proyectividad π con π( A _i ) = B _i , i = 1,2,3 . En el caso finito, 2-transitivo es suficiente. ^[8]
3. Un óvalo Ω en un plano proyectivo papiano de característica ≠ 2 es una cónica si y solo si para cualquier punto P de una tangente hay una perspectiva involutiva (simetría) con centro P que deja a Ω invariante. ^[9]
4. Si Ω es un óvalo en un plano proyectivo finito desarguesiano ^{[10] (pappiano) de orden} impar , PG(2, q ) , entonces Ω es una cónica según el teorema de Segre . ^[11] ). Esto implica que, tras un posible cambio de coordenadas, todo óvalo de PG(2, q ) con q impar tiene la parametrización:

${\displaystyle \{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.}$

Para óvalos topológicos se cumplen los siguientes criterios simples:

5. Cualquier óvalo cerrado del plano proyectivo complejo es una cónica. ^[12]

Más resultados sobre óvalos en planos finitos.

Un óvalo en un plano proyectivo finito de orden q es un arco ( q + 1, 2 ) , en otras palabras, un conjunto de q + 1 puntos, no tres colineales. Los óvalos en el plano proyectivo desarguesiano (pappiano) PG(2, q ) para q impar son simplemente las cónicas no singulares. Sin embargo, los óvalos en PG(2, q ) para q aún no han sido clasificados.

En un plano proyectivo finito arbitrario de orden impar q , no existen conjuntos con más puntos que q + 1 , de los cuales tres no sean colineales, como señaló por primera vez Bose en un artículo de 1947 sobre aplicaciones de este tipo de matemáticas a la estadística. diseño de experimentos. Además, según el teorema de Qvist , por cualquier punto que no esté en un óvalo pasan cero o dos líneas tangentes de ese óvalo.

Un hiperóvalo (los 4 puntos rojos) en el plano de Fano de 7 puntos.

Cuando q es par, la situación es completamente diferente.

En este caso, pueden existir conjuntos de q + 2 puntos, de los cuales tres no son colineales, en un plano proyectivo finito de orden q y se denominan hiperóvalos ; estos son arcos máximos de grado 2.

Dado un óvalo hay una tangente única que pasa por cada punto, y si q es par entonces el teorema de Qvist ^[13] muestra que todas estas tangentes son concurrentes en un punto P fuera del óvalo. Agregar este punto (llamado núcleo del óvalo o, a veces, nudo ) al óvalo da un hiperóvalo. Por el contrario, al eliminar cualquier punto de un hiperóvalo se obtiene inmediatamente un óvalo.

Como todos los óvalos en el caso de orden par están contenidos en hiperóvalos, una descripción de los hiperóvalos (conocidos) da implícitamente todos los óvalos (conocidos). Los óvalos obtenidos al eliminar un punto de un hiperóvalo son proyectivamente equivalentes si y sólo si los puntos eliminados están en la misma órbita del grupo de automorfismos del hiperóvalo. Sólo hay tres pequeños ejemplos (en los planos desarguesianos) donde el grupo de automorfismos del hiperóvalo es transitivo en sus puntos ^[14] por lo que, en general, existen diferentes tipos de óvalos contenidos en un solo hiperóvalo.

Caso desarguesiano: PG(2,2 h )

Este es el caso más estudiado y por lo que más se sabe sobre estos hiperóvalos.

Cada cónica no singular en el plano proyectivo, junto con su núcleo, forma un hiperóvalo. Estos pueden denominarse hipercónicos , pero el término más tradicional es hiperóvalos regulares . Para cada uno de estos conjuntos existe un sistema de coordenadas tal que el conjunto es:

${\displaystyle \{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.}$

Sin embargo, se pueden encontrar muchos otros tipos de hiperóvalos de PG(2,  q ) si q  > 8. Los hiperóvalos de PG(2,  q ) para q incluso solo se han clasificado para q  < 64 hasta la fecha.

En PG(2,2 ^h ), h > 0, un hiperóvalo contiene al menos cuatro puntos, de los cuales tres no son colineales. Así, por el Teorema Fundamental de la Geometría Proyectiva siempre podemos asumir que los puntos con coordenadas proyectivas (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y (1,1,1) están contenidos en cualquier hiperóvalo. Los puntos restantes del hiperóvalo (cuando h > 1) tendrán la forma (t, f(t),1) donde t abarca los valores del campo finito GF(2 ^h ) y f es una función en ese campo que representa una permutación y se puede expresar de forma única como un polinomio de grado como máximo 2 ^h - 2, es decir, es un polinomio de permutación . Observe que f(0) = 0 y f(1) = 1 están obligados por el supuesto relativo a la inclusión de los puntos especificados. Otras restricciones sobre f son impuestas por la condición de que no hay tres puntos colineales. Una f que produce un hiperóvalo de esta manera se llama polinomio o . La siguiente tabla enumera todos los hiperóvalos conocidos (a partir de 2011) de PG (2,2 ^h ) dando el polinomio o y cualquier restricción en el valor de h que sea necesaria para que la función mostrada sea un polinomio o. Tenga en cuenta que todos los exponentes deben tomarse mod(2 ^h - 1).

Hiperovalos conocidos en PG(2,2 h )

^a) El polinomio o de Subiaco viene dado por: siempre que , donde tr es la función traza absoluta de GF(2 ^h ). Este polinomio o da lugar a un hiperóvalo único si y a dos hiperóvalos no equivalentes si . ${\displaystyle f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},}$ ${\displaystyle tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})}$ ${\displaystyle h\not \equiv 2({\bmod {4}})}$ ${\displaystyle h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2}$

^b) Para describir los hiperóvalos de Adelaida, comenzaremos en un entorno un poco más general. Sean F = GF(q) y K = GF(q ² ) . Sea un elemento de norma 1, diferente de 1, es decir b ^q+1 = 1, . Considere el polinomio, para , ${\displaystyle b\in K}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle t\in F}$

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹ tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹ tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^½ + 1) ^1−metro + t ^½ ,

donde tr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^q . Cuando q = 2 ^h , con h par y m = ±(q - 1)/3, el f(t) anterior es un polinomio o para el hiperóvalo de Adelaida.

^c) El polinomio o de Penttila-O'Keefe viene dado por:

f(t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² +t24 ⁾ ,

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η ⁵ = η ² + 1.

Hiperovalos en PG(2, q), q par, q ≤ 64

Como los hiperóvalos en los planos desarguesianos de órdenes 2, 4 y 8 son todos hipercónicos, solo examinaremos los planos de órdenes 16, 32 y 64.

PG(2,16)

En (Lunelli & Sce 1958) se dan los detalles de una búsqueda por ordenador de arcos completos en planos de orden pequeño realizada por sugerencia de B. Segre. En PG(2,16) encontraron varios hiperóvalos que no eran hipercónicos. En 1975, M. Hall Jr. demostró, ^[15] también con considerable ayuda de una computadora, que sólo había dos clases de hiperóvalos proyectivamente desiguales en este plano, los hipercónicos y los hiperóvalos encontrados por Lunelli y Sce. De los 2040 polinomios o que dan el hiperóvalo de Lunelli-Sce , mostramos solo uno:

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ² ,

donde η es un elemento primitivo de GF(16) que satisface η ⁴ = η + 1.

En su artículo de 1975, Hall describió una serie de colineaciones del plano que estabilizaron el hiperóvalo de Lunelli-Sce, pero no demostró que generaran el grupo de automorfismo completo de este hiperóvalo. Payne y Conklin (1978), utilizando propiedades de un cuadrilátero generalizado relacionado , demostraron que el grupo de automorfismos no podía ser mayor que el grupo dado por Hall. Korchmáros (1978) dio de forma independiente una prueba constructiva de este resultado y también demostró que en los planos desarguesianos, el hiperóvalo de Lunelli-Sce es el único hiperóvalo irregular (no hipercónico) que admite un grupo de automorfismo transitivo (y que los únicos hiperóvalos que admiten tal grupo son los de orden 2 y 4).

O'Keefe y Penttila (1991) reprobaron el resultado de la clasificación de Hall sin el uso de una computadora. Su argumento consiste en encontrar un límite superior en el número de polinomios o definidos sobre GF(16) y luego, examinando los posibles grupos de automorfismos de hiperóvalos en este plano, demostrar que si existiera en este plano un hiperóvalo distinto de los conocidos entonces se excedería el límite superior. Brown & Cherowitzo (2000) proporcionan una construcción teórica de grupo del hiperóvalo Lunelli-Sce como la unión de órbitas del grupo generado por las elaciones de PGU(3,4) considerado como un subgrupo de PGL(3,16). También se incluye en este artículo una discusión de algunas propiedades notables relacionadas con las intersecciones de los hiperovalos e hipercónicos de Lunelli-Sce. En Cherowitzo et al. (1996) se muestra que el hiperóvalo de Lunelli-Sce es el primer miembro no trivial de la familia Subiaco ^[16] En Cherowitzo, O'Keefe y Penttila (2003) se muestra que es el primer miembro no trivial de la familia Subiaco. familia.

PÁG(2,32)

Dado que h = 5 es impar, varias de las familias conocidas tienen un representante aquí, pero debido al pequeño tamaño del plano hay algunas equivalencias espurias; de hecho, cada uno de los hiperóvalos de tipo Glynn es proyectivamente equivalente a un hiperóvalo de traslación, y el hiperóvalo de Payne es proyectivamente equivalente al hiperóvalo de Subiaco (esto no ocurre en planos más grandes). Específicamente, hay tres clases de hiperóvalos (tipo monomio), los hiperóvalos (f(t) = t ² ), los hiperóvalos de traducción propia (f(t) = t ⁴ ) y los hiperóvalos de Segre (f(t) = t ⁶ ) . ^[17] También existen clases correspondientes a los hiperóvalos de Payne y los hiperóvalos de Cherowitzo. ^[18] En O'Keefe, Penttila y Praeger (1991) se han determinado los grupos de colineación que estabilizan cada uno de estos hiperóvalos. Tenga en cuenta que en la determinación original del grupo de colineación para los hiperóvalos de Payne, el caso de q = 32 tuvo que tratarse por separado y dependió en gran medida de los resultados de la computadora. En O'Keefe, Penttila y Praeger (1991) se ofrece una versión alternativa de la demostración que no depende de cálculos informáticos.

En 1991, O'Keefe y Penttila descubrieron un nuevo hiperóvalo en este plano mediante una investigación detallada de las propiedades de divisibilidad de los órdenes de grupos de automorfismos de hipotéticos hiperóvalos. ^[19] Uno de sus o-polinomios viene dado por:

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² +x24 ⁾ ,

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η ⁵ = η ² + 1. El grupo de automorfismo completo de este hiperóvalo tiene orden 3.

Penttila y Royle (1994) estructuraron inteligentemente una búsqueda exhaustiva por computadora de todos los hiperóvalos en este plano. El resultado fue que el listado anterior está completo: sólo hay seis clases de hiperóvalos en PG(2,32).

PÁG(2,64)

Al extender las ideas de O'Keefe y Penttila (1992) a PG(2,64), Penttila y Pinneri (1994) pudieron buscar hiperóvalos cuyo grupo de automorfismo admitiera una colineación de orden 5. Encontraron dos y demostraron que no Existe otro hiperóvalo en este plano que tiene tal automorfismo. Esto resolvió afirmativamente una pregunta largamente abierta de B. Segre que quería saber si en este plano había hiperóvalos además de las hipercónicas. Los hiperóvalos son:

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁰ +x ³⁸ +x ⁴⁴ +x ⁴⁸ + x ⁵⁴ +x ⁵⁶ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ +x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismo de orden 15, y

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ +x ⁸ +x ¹⁰ +x ¹⁴ +x ¹⁶ +x ³⁴ +x ³⁸ +x ⁴⁰ +x ⁴⁴ +x ⁴⁶ +x ⁵² + x ⁵⁴ +x ⁵⁸ +x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x ²⁰ + x ²⁶ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ +x ⁵⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismo de orden 60, donde η es un elemento primitivo de GF(64) que satisface η ⁶ = η + 1. En Cherowitzo et al. (1996) se demuestra que se trata de hiperovalos de Subiaco. Al perfeccionar el programa de búsqueda por computadora, Penttila y Royle (1994) ampliaron la búsqueda a hiperóvalos admitiendo un automorfismo de orden 3 y encontraron el hiperóvalo:

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ +x ¹⁶ +x ²⁶ +x ²⁸ +x ³⁰ +x ³² +x ⁴⁰ + x ⁵⁸ ) + η ⁴² ( x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismo de orden 12 (η es un elemento primitivo de GF(64) como arriba). Este hiperóvalo es el primer hiperóvalo de Adelaida distinto.

Penttila y Royle ^[20] han demostrado que cualquier otro hiperóvalo en este plano tendría que tener un grupo de automorfismo trivial. Esto significaría que habría muchas copias proyectivamente equivalentes de tal hiperóvalo, pero las búsquedas generales hasta la fecha no han encontrado ninguna, lo que da crédito a la conjetura de que no hay otros en este plano.

Óvalos abstractos

Siguiendo (Bue1966), un óvalo abstracto , también llamado óvalo B , de orden es un par donde hay un conjunto de elementos, llamados puntos, y es un conjunto de involuciones que actúan de una manera marcadamente cuasi 2-transitiva, es decir , para dos cualesquiera con for , existe exactamente uno con y . Cualquier óvalo incrustado en un plano proyectivo de orden podría estar dotado de la estructura de un óvalo abstracto del mismo orden. Lo contrario, en general, no es cierto para ; de hecho, hay dos óvalos abstractos que no pueden estar incrustados en un plano proyectivo, ver (Fa1984). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (F,{\mathfrak {G}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F}$ ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (a_{1})=a_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (b_{1})=b_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n\geq 8}$ ${\displaystyle n=8}$

Cuando es par, una construcción similar produce hiperóvalos abstractos , ver (Po1997): un hiperóvalo abstracto de orden es un par donde es un conjunto de elementos y es un conjunto de involuciones libres de punto fijo que actúan de manera que para cualquier conjunto de cuatro distintos elementos hay exactamente uno con . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (F,{\mathfrak {G}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b,c,d\in F}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)=b,\sigma (c)=d}$

Ver también

• Ovoide (geometría proyectiva)

Notas

1. En la literatura inglesa, este término suele traducirse al francés en lugar de traducirlo como una línea de paso.
2. Dembowski 1968, pag. 147.
3. Beutelspacher y Rosenbaum 1998, pág. 144.
4. B. Segre : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Matemáticas. Pures Appl. 2 (1957) págs. 289–300.
5. Dembowski 1968, pag. 51.
6. E. Hartmann: Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), pág. 45.
7. F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arq. d. Matemáticas. vol. XVII, 1966, págs. 89-93.
8. J. Tetas : Ovoides à Translations , Rend. Estera. 21 (1962), págs. 37–59.
9. H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 45 (1976), págs. 237-244.
10. Todo plano papio es desarguesiano y, en el caso finito, lo contrario también es cierto. Entonces, para los planos finitos, cualquiera de los descriptores es válido, pero en la literatura para planos finitos predomina el término "desarguesiano".
11. Segre 1955.
12. Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, págs. 244-260.
13. Qvist 1952.
14. Korchmáros 1978.
15. Salón 1975.
16. Véase también Brown y Cherowitzo 2000.
17. En planos de orden más pequeño, estos hiperóvalos no se diferencian de los hipercónicos. La prueba de su existencia dada en Segre y Bartocci (1971) utiliza polinomios linealizados .
18. Para más detalles, consulte Cherowitzo 1988.
19. O'Keefe y Penttila 1992.
20. Penttila y Royle 1995.

Referencias

• Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva / de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
• Buekenhout, F. (1966), "Études intrinsèque des ovales.", Rend. Estera. E Aplica. , 25 (5): 333–393, SEÑOR  0218956
• Brown, Julia MN; Cherowitzo, William E. (2000), "El hiperóvalo Lunelli-Sce en PG (2,16)", J. Geom. , 69 (1–2): 15–36, doi :10.1007/BF01237471, SEÑOR  1800454
• Cherowitzo, William (1988), "Hiperóvalos en planos desarguesianos de orden par", Ann. Matemáticas discretas. , Anales de Matemáticas Discretas, 37 : 87–94, doi :10.1016/s0167-5060(08)70228-0, ISBN 978-0-444-70369-9, señor  0931308
• Cherowitzo, W. (1996), "Hiperovalos en planos desarguesianos: una actualización", Matemáticas discretas. , 155 (1–3): 31–38, doi : 10.1016/0012-365X(94)00367-R , SEÑOR  1401356
• Cherowitzo, W. (1998), "bandadas α e hiperóvalos", Geom. Dedicata , 72 (3): 221–246, doi :10.1023/A:1005022808718, SEÑOR  1647703
• Cherowitzo, William E.; O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim (2003), "Una construcción unificada de geometrías finitas asociadas con q -clanes en la característica 2", Adv. Geom. , 3 (1): 1–21, doi :10.1515/advg.2003.002, SEÑOR  1956585
• Cherowitzo, W.; Penttila, T.; Pinneri, I.; Royle, GF (1996), "Bandadas y óvalos", Geom. Dedicata , 60 (1): 17–37, doi :10.1007/BF00150865, SEÑOR  1376478
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, SEÑOR  0233275
• Faina, G. (1984), "Los B-óvalos de orden q ≤8", J. Combin. Teoría Ser. A , 36 (3): 307–314, doi : 10.1016/0097-3165(84)90038-4 , SEÑOR  0744079
• Glynn, David G. (1983), "Dos nuevas secuencias de óvalos en planos desarguesianos finitos de orden par", (Matemáticas combinatorias, X) Lecture Notes in Math. , vol. 1036, Berlín: Springer, págs. 217–229, doi :10.1007/BFb0071521, MR  0731584
• Hall, Marshall Jr. (1975), "Óvalos en el plano desarguesiano de orden 16 ", Ann. Estera. Pura aplicación. (4) , 102 : 159–176, doi : 10.1007/bf02410604, SEÑOR  0358552
• Hirschfeld, JWP (1998), Geometrías proyectivas sobre campos finitos (2ª ed.), Nueva York: The Clarendon Press Oxford University Press, págs. xiv+555, ISBN 0-19-850295-8, señor  1612570
• Korchmáros, G. (1978), "Grupos de colineación transitivos en los puntos de un óvalo [ q+2 -arco] de S _2,q para q par", Atti Sem. Estera. Fis. Univ. Módena (en italiano e inglés), 27 (1): 89–105 (1979), MR  0551092
• Korchmáros, G. (1991), "Resultados antiguos y nuevos sobre óvalos en planos proyectivos finitos", (Encuestas en combinatoria, 1991) London Math. Soc. Serie de notas de conferencia. , vol. 166, Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa, págs. 41–72, SEÑOR  1161460
• Lunelli, L.; Sce, M. (1958),k -archi completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16(en italiano), Milán: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, p. 15, SEÑOR  0157276
• O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim (1992), "Un nuevo hiperóvalo en PG(2,32)", J. Geom. , 44 (1–2): 117–139, doi :10.1007/BF01228288, SEÑOR  1169414
• O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim (1991), "Hyperovals in PG(2,16)", European Journal of Combinatorics , 12 (1): 51–59, doi : 10.1016/s0195-6698(13)80007-8 , SEÑOR  1087648
• O'Keefe, Christine M .; Penttila, Tim; Praeger, Cheryl E. (1991), "Estabilizadores de hiperóvalos en PG (2,32)", Avances en geometrías y diseños finitos, Chelwood Gate, 1990 , Nueva York: Oxford Univ. Prensa, págs. 337–351, SEÑOR  1138755
• Payne, Stanley E. (1985), "Una nueva familia infinita de cuadriláteros generalizados", Congressus Numerantium , 49 : 115-128, MR  0830735
• Payne, Stanley E.; Conklin, James E. (1978), "Un cuadrilátero generalizado inusual de orden dieciséis", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 24 (1): 50–74, doi : 10.1016/0097-3165(78)90044-4 , Señor  0462984
• Penttila, Tim; Pinneri, Ivano (1994), "Hiperóvalos irregulares en PG(2,64)", J. Geom. , 51 (1–2): 89–100, doi :10.1007/BF01226860, SEÑOR  1298348
• Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1994), "Clasificación de hiperóvalos en PG(2,32)", J. Geom. , 50 (1–2): 151–158, doi :10.1007/BF01222672, SEÑOR  1280636
• Penttila, Tim; Royle, Gordon F. (1995), "Sobre hiperóvalos en pequeños planos proyectivos", J. Geom. , 54 (1–2): 91–104, doi :10.1007/BF01222857, SEÑOR  1358279
• Polster, B. (1997), "Hiperóvalos abstractos y diseños de Hadamard", Australas. J. Combinar. , 16 : 29–33, SEÑOR  1477516
• Qvist, B. (1952), "Algunas observaciones sobre las curvas de segundo grado en un plano finito", Ann. Acad. Ciencia. Fennicae. Ser. A I. Matemáticas.-Física. , 1952 (134): 27, SEÑOR  0054977
• Segre, Beniamino (1955), "Óvalos en un plano proyectivo finito", Canadian Journal of Mathematics , 7 : 414–416, doi : 10.4153/CJM-1955-045-x , ISSN  0008-414X, MR  0071034
• Segre, Beniamino (1962), "Ovali e curve σ nei piani di Galois di caratteristica due.", Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Ciencia. Fis. Estera. Nat. (8) (en italiano), 32 : 785–790, SEÑOR  0149361
• Segre, B.; Bartocci, U. (1971), "Ovali ed altre curve nei piani di Galois di caratteristica due", Acta Arithmetica (en italiano), 18 : 423–449, doi : 10.4064/aa-18-1-423-449 , SEÑOR  0295201

enlaces externos

• Página hiperovalada de Bill Cherowitzo