Un arco (simple) en geometría proyectiva finita es un conjunto de puntos que satisface, de manera intuitiva, una característica de las figuras curvas en geometrías continuas . En términos generales, son conjuntos de puntos que están lejos de ser "lineales" en un plano o lejos de ser "planares" en un espacio tridimensional. En este contexto finito, es típico incluir el número de puntos del conjunto en el nombre, por lo que estos arcos simples se denominan arcos k . Una generalización importante de los arcos k , también denominados arcos en la literatura, son los arcos ( k , d ).
En un plano proyectivo finito π (no necesariamente desarguesiano ) un conjunto A de k ( k ≥ 3) puntos tales que no hay tres puntos de A colineales (en una línea) se llama k - arco . Si el plano π tiene orden q entonces k ≤ q + 2 , sin embargo el valor máximo de k solo se puede lograr si q es par. [1] En un plano de orden q , un ( q + 1) -arco se llama óvalo y, si q es par, un ( q + 2) -arco se llama hiperóvalo .
Toda cónica en el plano proyectivo desarguesiano PG(2, q ), es decir, el conjunto de ceros de una ecuación cuadrática homogénea irreducible, es un óvalo. Un célebre resultado de Beniamino Segre afirma que cuando q es impar, todo ( q + 1) -arco en PG(2, q ) es una cónica ( teorema de Segre ). Este es uno de los resultados pioneros en geometría finita .
Si q es par y A es un ( q + 1) -arco en π , entonces se puede demostrar mediante argumentos combinatorios que debe existir un único punto en π (llamado núcleo de A ) tal que la unión de A y este punto sea un ( q + 2)-arco. Por lo tanto, cada óvalo puede extenderse de forma única a un hiperóvalo en un plano proyectivo finito de orden par.
Un arco k que no se puede extender a un arco mayor se llama arco completo . En los planos proyectivos desarguesianos, PG(2, q ), ningún arco q es completo, por lo que todos pueden extenderse a óvalos. [2]
En el espacio proyectivo finito PG( n , q ) con n ≥ 3 , un conjunto A de k ≥ n + 1 puntos tales que ningún n + 1 punto se encuentra en un hiperplano común se denomina k - arco (espacial) . Esta definición generaliza la definición de un k - arco en un plano (donde n = 2 ).
Un ( k , d ) -arco ( k , d > 1 ) en un plano proyectivo finito π (no necesariamente desarguesiano ) es un conjunto, A de k puntos de π tales que cada línea interseca a A en como máximo d puntos, y hay al menos una línea que interseca a A en d puntos. Un ( k , 2 )-arco es un k -arco y puede denominarse simplemente arco si el tamaño no es una preocupación.
El número de puntos k de un ( k , d )-arco A en un plano proyectivo de orden q es como máximo qd + d − q . Cuando se da la igualdad, se dice que A es un arco maximalista .
Los hiperóvalos son arcos máximos. Los arcos completos no tienen por qué ser arcos máximos.