Helicidad hidrodinámica

Aspecto de la dinámica de fluidos euleriana

En dinámica de fluidos , la helicidad es, en condiciones apropiadas, un invariante de las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos, que tiene una interpretación topológica como una medida de la vinculación y/o anudamiento de las líneas de vórtice en el flujo. Esto fue demostrado por primera vez por Jean-Jacques Moreau en 1961 ^[1] y Moffatt lo derivó en 1969 sin el conocimiento del artículo de Moreau . Este invariante de helicidad es una extensión del teorema de Woltjer para la helicidad magnética .

Sea el campo de velocidad y el campo de vorticidad correspondiente . Bajo las tres condiciones siguientes, las líneas de vórtice son transportadas con (o 'congeladas' en) el flujo: (i) el fluido es no viscoso ; (ii) el flujo es incompresible ( ), o es compresible con una relación barotrópica entre la presión p y la densidad ρ ; y (iii) cualquier fuerza corporal que actúe sobre el fluido es conservativa . Bajo estas condiciones, cualquier superficie cerrada S cuyos vectores normales sean ortogonales a la vorticidad (es decir, ) es, como la vorticidad, transportada con el flujo. ${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle p=p(\rho )}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0}$

Sea V el volumen dentro de dicha superficie. Entonces la helicidad en V , denotada H , se define por la integral de volumen

${\displaystyle H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.}$

Para una distribución de vorticidad localizada en un fluido ilimitado, V puede tomarse como el espacio completo, y H es entonces la helicidad total del flujo. H es invariante precisamente porque las líneas de vórtice están congeladas en el flujo y, por lo tanto, su vinculación y/o anudamiento se conserva, como reconoció Lord Kelvin (1868). La helicidad es una cantidad pseudoescalar: cambia de signo al cambiar de un marco de referencia dextrógiro a uno levógiro; puede considerarse como una medida de la quiralidad del flujo. La helicidad es uno de los cuatro invariantes integrales conocidos de las ecuaciones de Euler; los otros tres son la energía , el momento y el momento angular .

Para dos tubos de vórtice no anudados enlazados que tienen circulaciones y , y ninguna torsión interna, la helicidad está dada por , donde n es el número de enlace de Gauss de los dos tubos, y el más o el menos se elige según si el enlace es dextrógiro o levógiro. Para un solo tubo de vórtice anudado con circulación , entonces, como lo muestran Moffatt y Ricca (1992), la helicidad está dada por , donde y son la torsión y la torsión del tubo; se sabe que la suma es invariante bajo la deformación continua del tubo. ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)}$ ${\displaystyle Wr}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle Wr+Tw}$

La invariancia de la helicidad proporciona una piedra angular esencial del tema de la dinámica de fluidos topológica y la magnetohidrodinámica , que se ocupa de las propiedades globales de los flujos y sus características topológicas.

Meteorología

En meteorología , ^[2] la helicidad corresponde a la transferencia de vorticidad desde el entorno a una parcela de aire en movimiento convectivo . Aquí la definición de helicidad se simplifica para utilizar únicamente el componente horizontal del viento y la vorticidad , y para integrar únicamente en la dirección vertical, reemplazando la integral de volumen por una integral definida unidimensional o una integral de línea :

${\displaystyle H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{Z}=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z},}$

dónde

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle Z}$ es la altitud,
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {V}}_{h}}$ es la velocidad horizontal,
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {\zeta }}_{h}}$ es la vorticidad horizontal.

Según esta fórmula, si el viento horizontal no cambia de dirección con la altitud , H será cero ya que y son perpendiculares , por lo que su producto escalar es nulo. H es entonces positivo si el viento vira (gira en el sentido de las agujas del reloj ) con la altitud y negativo si retrocede (gira en el sentido contrario a las agujas del reloj ). Esta helicidad utilizada en meteorología tiene unidades de energía por unidad de masa [m ² /s ² ] y, por lo tanto, se interpreta como una medida de transferencia de energía por la cizalladura del viento con la altitud, incluida la direccional. ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle \nabla \times V_{h}}$

Esta noción se utiliza para predecir la posibilidad de desarrollo de un tornado en una nube de tormenta . En este caso, la integración vertical se limitará por debajo de las cimas de las nubes (generalmente 3 km o 10 000 pies) y el viento horizontal se calculará en relación con la tormenta al restar su movimiento:

${\displaystyle \mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z}}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\vec {C}}}$ es el movimiento de las nubes con respecto al suelo.

Los valores críticos de SRH ( Storm Relative Helicity ) para el desarrollo de tornados, según se ha investigado en América del Norte , [ 3 ^] son:

• SRH = 150-299... posibles supercélulas con tornados débiles según la escala de Fujita
• SRH = 300-499... muy favorable para el desarrollo de supercélulas y tornados fuertes
• SRH > 450 ... tornados violentos
• Cuando se calcula solo por debajo de 1 km (4000 pies), el valor de corte es 100.

La helicidad en sí no es el único componente de las tormentas eléctricas severas , y estos valores deben tomarse con precaución. ^[4] Es por eso que se ha creado el Índice de Helicidad Energética ( EHI ). Es el resultado de SRH multiplicado por CAPE ( Energía Potencial Disponible Convectiva ) y luego dividido por un CAPE umbral:

${\displaystyle \mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}}$

Esto incorpora no solo la helicidad sino también la energía de la parcela de aire y, por lo tanto, intenta eliminar el potencial débil de tormentas eléctricas incluso en regiones con SRH fuerte. Los valores críticos de EHI:

• EHI = 1... posibles tornados
• EHI = 1-2... tornados moderados a fuertes
• EHI > 2... tornados fuertes

Notas

1. Moreau, JJ (1961). Constantes d'un îlot tourbillonnaire en fluide parfait barotrope. Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 252(19), 2810.
2. Martin Rowley, meteorólogo jubilado de UKMET . «Definiciones de términos en meteorología». Archivado desde el original el 16 de mayo de 2006. Consultado el 15 de julio de 2006 .
3. Thompson, Rich. "Explicación de los parámetros meteorológicos severos del SPC". Servicio Meteorológico Nacional - Centro de Predicción de Tormentas . NOAA . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2022 . Consultado el 13 de febrero de 2023 .
4. "Helicidad relativa de tormentas". NOAA . Consultado el 8 de agosto de 2014 .

Referencias

• Batchelor, GK , (1967, reimpreso en 2000) Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge Univ. Press
• Ohkitani, K., " Elementary Account Of Vortity And Related Equations ". Cambridge University Press. 30 de enero de 2005. ISBN 0-521-81984-9 
• Chorin, AJ , " Vorticidad y turbulencia ". Applied Mathematical Sciences, vol. 103, Springer-Verlag, 1 de marzo de 1994. ISBN 0-387-94197-5 
• Majda, AJ y Bertozzi, AL, " Vorticity and Incompresible Flow ". Cambridge University Press; 1.ª edición. 15 de diciembre de 2001. ISBN 0-521-63948-4 
• Tritton, DJ , " Dinámica de fluidos físicos ". Van Nostrand Reinhold, Nueva York. 1977. ISBN 0-19-854493-6 
• Arfken, G., " Métodos matemáticos para físicos ", 3.ª ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5 
• Moffatt, HK (1969) El grado de anudamiento de las líneas de vórtice enredadas. J. Fluid Mech . 35 , págs. 117–129.
• Moffatt, HK y Ricca, RL (1992) Helicidad y el invariante Cǎlugǎreanu. Proc. R. Soc. Lond. A 439 , págs. 411–429.
• Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868) Sobre el movimiento de vórtices. Trad. Roy. Soc. Edin. 25 , págs. 217–260.