En matemáticas , E 6 es el nombre de algunos grupos de Lie estrechamente relacionados , grupos algebraicos lineales o sus álgebras de Lie , todos los cuales tienen dimensión 78; la misma notación E 6 se utiliza para la red de raíces correspondiente , que tiene rango 6. La designación E 6 proviene de la clasificación de Cartan-Killing de las álgebras de Lie simples complejas (véase Élie Cartan § Work ). Esto clasifica las álgebras de Lie en cuatro series infinitas etiquetadas A n , B n , C n , D n , y cinco casos excepcionales etiquetados E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . El álgebra E 6 es, por tanto, uno de los cinco casos excepcionales.
El grupo fundamental de la forma adjunta de E 6 (como grupo de Lie complejo o compacto) es el grupo cíclico Z /3 Z , y su grupo de automorfismo externo es el grupo cíclico Z /2 Z . Para la forma simplemente conexa, su representación fundamental es de 27 dimensiones, y una base está dada por las 27 líneas en una superficie cúbica . La representación dual , que no es equivalente, también es de 27 dimensiones.
En física de partículas , E 6 juega un papel en algunas grandes teorías unificadas .
Existe una única álgebra de Lie compleja de tipo E 6 , correspondiente a un grupo complejo de dimensión compleja 78. El grupo de Lie adjunto complejo E 6 de dimensión compleja 78 puede considerarse como un grupo de Lie real simple de dimensión real 156. Este tiene grupo fundamental Z /3 Z , tiene subgrupo compacto maximalista la forma compacta (ver abajo) de E 6 , y tiene un grupo de automorfismo externo no cíclico de orden 4 generado por conjugación compleja y por el automorfismo externo que ya existe como automorfismo complejo.
Además del grupo de Lie complejo de tipo E 6 , existen cinco formas reales del álgebra de Lie y, correspondientemente, cinco formas reales del grupo con centro trivial (todas las cuales tienen una doble cubierta algebraica y tres de las cuales tienen cubiertas no algebraicas adicionales, lo que da lugar a formas reales adicionales), todas de dimensión real 78, como sigue:
La forma EIV de E 6 es el grupo de colineaciones (transformaciones que preservan la línea) del plano proyectivo octoniónico OP 2 . [1] También es el grupo de transformaciones lineales que preservan el determinante del álgebra de Jordan excepcional . El álgebra de Jordan excepcional es de 27 dimensiones, lo que explica por qué la forma real compacta de E 6 tiene una representación compleja de 27 dimensiones. La forma real compacta de E 6 es el grupo de isometría de una variedad de Riemann de 32 dimensiones conocida como el 'plano proyectivo bioctoniónico'; construcciones similares para E 7 y E 8 se conocen como los planos proyectivos de Rosenfeld , y son parte del cuadrado mágico de Freudenthal .
Mediante una base de Chevalley para el álgebra de Lie, se puede definir E 6 como un grupo algebraico lineal sobre los enteros y, en consecuencia, sobre cualquier anillo conmutativo y en particular sobre cualquier cuerpo: esto define la llamada forma adjunta dividida (a veces también conocida como "destorcida") de E 6 . Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, esta y su triple recubrimiento son las únicas formas; sin embargo, sobre otros cuerpos, a menudo hay muchas otras formas, o "torsiones" de E 6 , que se clasifican en el marco general de la cohomología de Galois (sobre un cuerpo perfecto k ) por el conjunto H 1 ( k , Aut(E 6 )) que, debido a que el diagrama de Dynkin de E 6 (ver abajo) tiene grupo de automorfismos Z /2 Z , se asigna a H 1 ( k , Z /2 Z ) = Hom (Gal( k ), Z /2 Z ) con núcleo H 1 ( k , E 6,ad ). [2]
En el cuerpo de los números reales, las componentes reales de la identidad de estas formas algebraicamente retorcidas de E 6 coinciden con los tres grupos de Lie reales mencionados anteriormente, pero con una sutileza respecto al grupo fundamental: todas las formas adjuntas de E 6 tienen grupo fundamental Z /3 Z en el sentido de la geometría algebraica, con acción de Galois como sobre las raíces terceras de la unidad; esto significa que admiten exactamente una triple cobertura (que puede ser trivial en los puntos reales); las demás formas no compactas del grupo de Lie real de E 6 no son, por tanto, algebraicas y no admiten representaciones fieles de dimensión finita. Se dice que la forma real compacta de E 6 así como las formas no compactas EI=E 6(6) y EIV=E 6(-26) son internas o de tipo 1 E 6 , lo que significa que su clase se encuentra en H 1 ( k , E 6,ad ) o que la conjugación compleja induce el automorfismo trivial en el diagrama de Dynkin, mientras que se dice que las otras dos formas reales son externas o de tipo 2 E 6 .
Sobre cuerpos finitos, el teorema de Lang-Steinberg implica que H 1 ( k , E 6 ) = 0, lo que significa que E 6 tiene exactamente una forma retorcida, conocida como 2 E 6 : ver más abajo.
De manera similar a cómo el grupo algebraico G 2 es el grupo de automorfismos de los octoniones y el grupo algebraico F 4 es el grupo de automorfismos de un álgebra de Albert , un álgebra de Jordan excepcional , el grupo algebraico E 6 es el grupo de automorfismos lineales de un álgebra de Albert que preservan una cierta forma cúbica, llamada "determinante". [3]
El diagrama de Dynkin para E 6 está dado por
, que también puede dibujarse como
.
Aunque abarcan un espacio de seis dimensiones, es mucho más simétrico considerarlos como vectores en un subespacio de seis dimensiones de un espacio de nueve dimensiones. Entonces, se pueden tomar las raíces como
más las 27 combinaciones de donde es uno de más las 27 combinaciones de donde es uno de
Raíces simples
Una posible selección para las raíces simples de E 6 es:
E 6 es el subconjunto de E 8 donde un conjunto consistente de tres coordenadas son iguales (por ejemplo, la primera o la última). Esto facilita las definiciones explícitas de E 7 y E 6 como:
Las siguientes 72 raíces E 6 se derivan de esta manera a partir de las raíces reales divididas pares E 8. Observe que las últimas 3 dimensiones son las mismas que se requieren:
Una descripción alternativa (de 6 dimensiones) del sistema de raíces, que es útil al considerar E 6 × SU(3) como un subgrupo de E 8 , es la siguiente:
Todas las permutaciones de
y todas las siguientes raíces con un número impar de signos más
Así, los 78 generadores constan de las siguientes subálgebras:
Una elección de raíces simples para E 6 está dada por las filas de la siguiente matriz, indexadas en el orden
:
El grupo de Weyl de E 6 es de orden 51840: es el grupo de automorfismo del único grupo simple de orden 25920 (que puede describirse como cualquiera de: PSU 4 (2), PSΩ 6 − (2), PSp 4 (3) o PSΩ 5 (3)). [4]
El álgebra de Lie E 6 tiene una subálgebra F 4 , que es la subálgebra fija de un automorfismo externo, y una subálgebra SU(3) × SU(3) × SU(3). Otras subálgebras máximas que tienen importancia en física (ver más abajo) y que pueden leerse a partir del diagrama de Dynkin, son las álgebras de SO(10) × U(1) y SU(6) × SU(2).
Además de la representación adjunta de 78 dimensiones, hay dos representaciones "vectoriales" duales de 27 dimensiones .
Los caracteres de las representaciones de dimensión finita de las álgebras de Lie reales y complejas y de los grupos de Lie están todos dados por la fórmula de caracteres de Weyl . Las dimensiones de las representaciones irreducibles más pequeñas son (secuencia A121737 en la OEIS ):
Los términos subrayados en la secuencia anterior son las dimensiones de aquellas representaciones irreducibles que posee la forma adjunta de E 6 (equivalentemente, aquellas cuyos pesos pertenecen a la red raíz de E 6 ), mientras que la secuencia completa da las dimensiones de las representaciones irreducibles de la forma simplemente conexa de E 6 .
La simetría del diagrama de Dynkin de E 6 explica por qué muchas dimensiones aparecen dos veces, estando relacionadas las representaciones correspondientes por el automorfismo externo no trivial; sin embargo, a veces hay incluso más representaciones que éstas, como cuatro de dimensión 351, dos de las cuales son fundamentales y dos de las cuales no.
Las representaciones fundamentales tienen dimensiones 27, 351, 2925, 351, 27 y 78 (correspondientes a los seis nodos en el diagrama de Dynkin en el orden elegido para la matriz de Cartan anterior, es decir, los nodos se leen primero en la cadena de cinco nodos, y el último nodo se conecta al del medio).
A la derecha se muestran las incrustaciones de los subgrupos máximos de E 6 hasta la dimensión 78.
El politopo E 6 es la envoltura convexa de las raíces de E 6 . Por lo tanto, existe en 6 dimensiones; su grupo de simetría contiene al grupo de Coxeter para E 6 como subgrupo de índice 2.
Los grupos de tipo E 6 sobre campos arbitrarios (en particular campos finitos) fueron introducidos por Dickson (1901, 1908).
Los puntos sobre un cuerpo finito con q elementos del grupo algebraico (dividido) E 6 (ver arriba), ya sea de forma adjunta (sin centro) o simplemente conexa (su cobertura universal algebraica), dan un grupo de Chevalley finito . Este está estrechamente relacionado con el grupo escrito E 6 ( q ), sin embargo, hay ambigüedad en esta notación, que puede significar varias cosas:
Desde la perspectiva de los grupos finitos, la relación entre estos tres grupos, que es bastante análoga a la que existe entre SL( n,q ), PGL( n,q ) y PSL( n,q ), se puede resumir de la siguiente manera: E 6 ( q ) es simple para cualquier q , E 6,sc ( q ) es su cubierta de Schur , y E 6,ad ( q ) se encuentra en su grupo de automorfismos; además, cuando q −1 no es divisible por 3, los tres coinciden, y en caso contrario (cuando q es congruente con 1 mod 3), el multiplicador de Schur de E 6 ( q ) es 3 y E 6 ( q ) es de índice 3 en E 6,ad ( q ), lo que explica por qué E 6,sc ( q ) y E 6,ad ( q ) a menudo se escriben como 3·E 6 ( q ) y E 6 ( q )·3. Desde la perspectiva del grupo algebraico, es menos común que E 6 ( q ) se refiera al grupo simple finito, porque este último no es de manera natural el conjunto de puntos de un grupo algebraico sobre F q a diferencia de E 6,sc ( q ) y E 6,ad ( q ).
Más allá de esta forma "dividida" (o "desenrollada") de E 6 , existe también otra forma de E 6 sobre el cuerpo finito F q , conocida como 2 E 6 , que se obtiene torciéndola por el automorfismo no trivial del diagrama de Dynkin de E 6 . Concretamente, 2 E 6 ( q ), que se conoce como grupo de Steinberg, puede verse como el subgrupo de E 6 ( q 2 ) fijado por la composición del automorfismo no trivial del diagrama y el automorfismo no trivial del cuerpo de F q 2 . La torsión no cambia el hecho de que el grupo fundamental algebraico de 2 E 6,ad es Z /3 Z , pero sí cambia aquellos q para los cuales el recubrimiento de 2 E 6,ad por 2 E 6,sc es no trivial en los puntos F q . Precisamente: 2 E 6,sc ( q ) es un recubrimiento de 2 E 6 ( q ), y 2 E 6,ad ( q ) se encuentra en su grupo de automorfismos; cuando q +1 no es divisible por 3, los tres coinciden, y en caso contrario (cuando q es congruente con 2 mod 3), el grado de 2 E 6,sc ( q ) sobre 2 E 6 ( q ) es 3 y 2 E 6 ( q ) es de índice 3 en 2 E 6,ad ( q ), lo que explica por qué 2 E 6,sc ( q ) y 2 E 6,ad ( q ) se escriben a menudo como 3· 2 E 6 ( q ) y 2 E 6 ( q )·3.
Dos cuestiones de notación deben plantearse en relación con los grupos 2 E 6 ( q ). Una es que a veces se escribe 2 E 6 ( q 2 ), una notación que tiene la ventaja de transponerse más fácilmente a los grupos de Suzuki y Ree, pero la desventaja de desviarse de la notación para los puntos F q de un grupo algebraico. Otra es que mientras que 2 E 6,sc ( q ) y 2 E 6,ad ( q ) son los puntos F q de un grupo algebraico, el grupo en cuestión también depende de q (por ejemplo, los puntos sobre F q 2 del mismo grupo son los E 6,sc ( q 2 ) y E 6,ad ( q 2 ) no torcidos).
Los grupos E 6 ( q ) y 2 E 6 ( q ) son simples para cualquier q , [5] [6] y constituyen dos de las familias infinitas en la clasificación de grupos finitos simples . Su orden viene dado por la siguiente fórmula (secuencia A008872 en la OEIS ):
(secuencia A008916 en la OEIS ). El orden de E 6,sc ( q ) o E 6,ad ( q ) (ambos son iguales) se puede obtener eliminando el factor divisor mcd(3, q −1) de la primera fórmula (secuencia A008871 en la OEIS ), y el orden de 2 E 6,sc ( q ) o 2 E 6,ad ( q ) (ambos son iguales) se puede obtener eliminando el factor divisor mcd(3, q +1) de la segunda (secuencia A008915 en la OEIS ).
El multiplicador de Schur de E 6 ( q ) es siempre mcd(3, q −1) (es decir, E 6,sc ( q ) es su cobertura de Schur). El multiplicador de Schur de 2 E 6 ( q ) es mcd(3, q +1) (es decir, 2 E 6,sc ( q ) es su cobertura de Schur) fuera del caso excepcional q =2 donde es 2 2 ·3 (es decir, hay una cobertura adicional de 2 2 -fold). El grupo de automorfismos externos de E 6 ( q ) es el producto del grupo de automorfismos diagonales Z / mcd(3, q −1) Z (dado por la acción de E 6,ad ( q )), el grupo Z /2 Z de automorfismos de diagrama y el grupo de automorfismos de cuerpo (es decir, cíclico de orden f si q = p f donde p es primo). El grupo de automorfismos externos de 2 E 6 ( q ) es el producto del grupo de automorfismos diagonales Z /mcd(3, q +1) Z (dado por la acción de 2 E 6,ad ( q )) y el grupo de automorfismos de campo (es decir, cíclico de orden f si q = p f donde p es primo).
La supergravedad N = 8 en cinco dimensiones, que es unareducción dimensionaldela supergravedad de once dimensiones, admite unasimetría global bosónicaE 6 y una simetría localbosónicaSp(8). Los fermiones están en representaciones deSp(8), los campos de calibración están en una representación deE 6 y los escalares están en una representación de ambos (los gravitones sonsingletescon respecto a ambos). Los estados físicos están en representaciones de la clase lateralE 6 /Sp(8).
En las teorías de gran unificación , E 6 aparece como un posible grupo de calibración que, tras su ruptura , da lugar al grupo de calibración SU(3) × SU(2) × U(1) del modelo estándar . Una forma de lograrlo es mediante la ruptura a SO(10) × U(1) . La representación adjunta 78 se rompe, como se explicó anteriormente, en un adjunto 45 , espinor 16 y 16 así como en un singlete de la subálgebra SO(10) . Incluyendo la carga U(1) tenemos
Donde el subíndice denota la carga U(1) .
De la misma manera, la representación fundamental 27 y su conjugado 27 se descomponen en un escalar 1 , un vector 10 y un espinor, ya sea 16 o 16 :
De esta manera se pueden obtener los fermiones elementales y el bosón de Higgs del Modelo Estándar.
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ca15b317e05e668131f2521f4a79304063f36c)
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2922073ae30e5eb26a32b5b1b0b90a890ff0a540)
