Cuaternión hiperbólico

Mutación de cuaterniones donde los vectores unitarios se elevan al cuadrado a +1

En álgebra abstracta , el álgebra de cuaterniones hiperbólicos es un álgebra no asociativa sobre los números reales con elementos de la forma

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!}$

donde los cuadrados de i, j y k son +1 y los elementos distintos de {i, j, k} se multiplican con la propiedad anticonmutativa .

El álgebra de cuatro dimensiones de cuaterniones hiperbólicos incorpora algunas de las características del álgebra de bicuaterniones , más antigua y de mayor tamaño . Ambas contienen subálgebras isomorfas al plano de números complejos divididos . Además, así como el álgebra de cuaterniones H puede verse como una unión de planos complejos , el álgebra de cuaterniones hiperbólicos es un lápiz de planos de números complejos divididos que comparten la misma línea real.

Fue Alexander Macfarlane quien promovió este concepto en la década de 1890 como su Álgebra de la Física , primero a través de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia en 1891, luego a través de su libro de 1894 de cinco artículos sobre análisis espacial , y en una serie de conferencias en la Universidad de Lehigh en 1900.

Estructura algebraica

Al igual que los cuaterniones , el conjunto de cuaterniones hiperbólicos forman un espacio vectorial sobre los números reales de dimensión 4. Una combinación lineal

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

es un cuaternión hiperbólico cuando y son números reales y el conjunto base tiene estos productos: ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=+1}$

Utilizando la propiedad distributiva , estas relaciones se pueden utilizar para multiplicar dos cuaterniones hiperbólicos cualesquiera.

A diferencia de los cuaterniones ordinarios, los cuaterniones hiperbólicos no son asociativos . Por ejemplo, , mientras que . De hecho, este ejemplo muestra que los cuaterniones hiperbólicos ni siquiera son un álgebra alternativa . ${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$ ${\displaystyle i(jj)=i}$

Las tres primeras relaciones muestran que los productos de los elementos de la base (no real) son anticonmutativos . Aunque este conjunto de base no forma un grupo , el conjunto

${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

forma un bucle , es decir, un cuasigrupo con un elemento identidad. También se observa que cualquier subplano del conjunto M de cuaterniones hiperbólicos que contiene el eje real forma un plano de números complejos desdoblados . Si

${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$

es el conjugado de , entonces el producto ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$

es la forma cuadrática utilizada en la teoría del espacio-tiempo . De hecho, para los eventos p y q , la forma bilineal

${\displaystyle \eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}}$

surge como el negativo de la parte real del producto cuaternional hiperbólico pq *, y se utiliza en el espacio de Minkowski .

Nótese que el conjunto de unidades U = { q  : qq * ≠ 0 } no está cerrado a la multiplicación. Para más detalles, véanse las referencias (enlace externo).

Discusión

Los cuaterniones hiperbólicos forman un anillo no asociativo ; la falla de la asociatividad en esta álgebra limita la utilidad de esta álgebra en la teoría de la transformación. Sin embargo, esta álgebra se centró en la cinemática analítica al sugerir un modelo matemático : Cuando uno selecciona un vector unitario r en los cuaterniones hiperbólicos, entonces r ² = +1. El plano con la multiplicación de cuaterniones hiperbólicos es una subálgebra conmutativa y asociativa isomorfa al plano de números complejos divididos. El versor hiperbólico transforma D _r mediante ${\displaystyle D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace }$ ${\displaystyle \exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\end{aligned}}}$

Dado que la dirección r en el espacio es arbitraria, esta multiplicación de cuaterniones hiperbólicos puede expresar cualquier aumento de Lorentz utilizando el parámetro a llamado rapidez . Sin embargo, el álgebra de cuaterniones hiperbólicos es deficiente para representar el grupo de Lorentz completo (véase biquaternión en su lugar).

En 1967, al escribir sobre el diálogo sobre métodos vectoriales en la década de 1890, el historiador Michael J. Crowe comentó:

La introducción de otro sistema de análisis vectorial, incluso una especie de sistema de compromiso como el de Macfarlane, difícilmente podría ser bien recibida por los defensores de los sistemas ya existentes y, además, probablemente actuó para ampliar la cuestión más allá de la comprensión del lector aún no iniciado. ^[1]

Geometría

Más tarde, Macfarlane publicó un artículo en las Actas de la Royal Society de Edimburgo en 1900. En él trata un modelo para el espacio hiperbólico H ³ sobre el hiperboloide.

${\displaystyle H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}.}$

Este modelo isótropo se llama modelo hiperboloide y consta de todos los versores hiperbólicos en el anillo de cuaterniones hiperbólicos.

Reseña histórica

La década de 1890 se sintió influenciada por las publicaciones póstumas de W. K. Clifford y los grupos continuos de Sophus Lie . Un ejemplo de un grupo de un parámetro es el versor hiperbólico con el parámetro de ángulo hiperbólico . Este parámetro es parte de la descomposición polar de un número complejo dividido. Pero es un aspecto sorprendente de las matemáticas finitas lo que hace que el anillo de cuaterniones hiperbólico sea diferente:

La base del espacio vectorial de los cuaterniones hiperbólicos no está cerrada bajo la multiplicación: por ejemplo, . Sin embargo, el conjunto está cerrado bajo la multiplicación. Satisface todas las propiedades de un grupo abstracto excepto la propiedad de asociatividad; al ser finito, es un cuadrado latino o cuasigrupo , una estructura matemática periférica . La pérdida de la propiedad de asociatividad de la multiplicación como se encuentra en la teoría de cuasigrupos no es consistente con el álgebra lineal ya que todas las transformaciones lineales se componen de manera asociativa. Sin embargo, los científicos físicos estaban pidiendo en la década de 1890 la mutación de los cuadrados de , , y para que fueran en lugar de  : El físico de la Universidad de Yale Willard Gibbs tenía panfletos con el cuadrado más uno en su sistema vectorial tridimensional. Oliver Heaviside en Inglaterra escribió columnas en el Electrician , un periódico comercial, defendiendo el cuadrado positivo. En 1892 reunió su trabajo en Transactions of the Royal Society A ^[2] donde dice que su sistema vectorial es ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$ ${\displaystyle ji=-\!k}$ ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

simplemente los elementos de Cuaterniones sin cuaterniones, con la notación simplificada al máximo y con el muy inconveniente signo menos antes del producto escalar eliminado.

Así pues, la aparición de los cuaterniones hiperbólicos de Macfarlane tuvo cierta motivación, pero la desagradable falta de asociatividad precipitó una reacción. Cargill Gilston Knott se sintió impulsado a ofrecer lo siguiente:

Teorema (Knott ^[3] 1892)

Si un álgebra de 4 bases es asociativa y los productos fuera de la diagonal se dan mediante las reglas de Hamilton, entonces . ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$ ${\displaystyle i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}}$

Prueba:

${\displaystyle j=ki=(-ji)i=-j(ii)}$, entonces . Recicle las letras , , para obtener . QED . ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}}$

Este teorema necesitaba una formulación que justificara la resistencia a la llamada de los físicos y del electricista . El cuasigrupo provocó un considerable revuelo en la década de 1890: la revista Nature fue especialmente propicia para una exposición de lo que se sabía al ofrecer dos resúmenes del trabajo de Knott, así como de varios otros teóricos vectoriales. Michael J. Crowe dedica el capítulo seis de su libro A History of Vector Analysis a las diversas opiniones publicadas y menciona el cuaternión hiperbólico:

Macfarlane construyó un nuevo sistema de análisis vectorial más en armonía con el sistema de Gibbs-Heaviside que con el sistema de cuaterniones. ...definió un producto completo de dos vectores que era comparable al producto completo de cuaterniones excepto que la parte escalar era positiva, no negativa como en el sistema anterior. ^[1]

En 1899, Charles Jasper Joly observó el cuaternión hiperbólico y la propiedad de no asociatividad ^[4] y atribuyó su origen a Oliver Heaviside.

Los cuaterniones hiperbólicos, como el Álgebra de la Física , socavaron la afirmación que los cuaterniones ordinarios hicieron sobre la física. En cuanto a las matemáticas, el cuaternión hiperbólico es otro número hipercomplejo , como se llamaban a tales estructuras en ese momento. En la década de 1890, Richard Dedekind había introducido el concepto de anillo en el álgebra conmutativa, y el concepto de espacio vectorial estaba siendo abstraído por Giuseppe Peano . En 1899, Alfred North Whitehead promovió el Álgebra universal , abogando por la inclusividad. Los conceptos de cuasigrupo y álgebra sobre un cuerpo son ejemplos de estructuras matemáticas que describen cuaterniones hiperbólicos.

Artículo de Macfarlane sobre el cuaternión hiperbólico de 1900

En 1900, las Actas de la Royal Society of Edinburgh publicaron "Hyperbolic Quaternions", un artículo en el que Macfarlane recupera la asociatividad para la multiplicación recurriendo a los cuaterniones complejos . Durante su estancia allí, utilizó algunas expresiones que más tarde se hicieron famosas gracias a Wolfgang Pauli : donde Macfarlane escribió

${\displaystyle ij=k{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle jk=i{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle ki=j{\sqrt {-1}},}$

Las matrices de Pauli satisfacen

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}}$

mientras se refiere a los mismos cuaterniones complejizados.

La frase inicial del artículo es "Es bien sabido que los cuaterniones están íntimamente relacionados con la trigonometría esférica y, de hecho, reducen el tema a una rama del álgebra". Esta afirmación puede verificarse haciendo referencia al trabajo contemporáneo Vector Analysis , que trabaja con un sistema de cuaterniones reducido basado en el producto escalar y el producto vectorial . En el artículo de Macfarlane hay un esfuerzo por producir "trigonometría en la superficie de los hiperboloides equiláteros" a través del álgebra de cuaterniones hiperbólicos, ahora reidentificados en un anillo asociativo de ocho dimensiones reales. El esfuerzo se ve reforzado por una lámina de nueve figuras en la página 181. Ilustran el poder descriptivo de su método de "análisis espacial". Por ejemplo, la figura 7 es el diagrama de Minkowski común utilizado hoy en la relatividad especial para analizar el cambio de velocidad de un marco de referencia y la relatividad de la simultaneidad .

En la página 173, Macfarlane amplía su teoría de las variables cuaterniones. En contraste, señala que Felix Klein parece no mirar más allá de la teoría de los cuaterniones y la rotación espacial .

Referencias

1. Crowe, MJ (1967). Una historia del análisis vectorial . Universidad de Notre Dame. pág. 191.
2. Heaviside 1892, págs. 427–430
3. Knott, CG (1893). "Innovaciones recientes en la teoría vectorial". Nature . 47 (1225): 590–3. Bibcode :1893Natur..47R.590.. doi : 10.1038/047590b0 .Leído ante la Royal Society de Edimburgo el 19 de diciembre de 1892 y publicado en Proceedings
4. Hamilton (1899). Joly, CJ (ed.). Elementos de cuaterniones (2.ª ed.). Londres: Longmans, Green, and Co. p. 163.

• Heaviside, Oliver (1892). "Sobre las fuerzas, tensiones y flujos de energía en el campo electromagnético". Philosophical Transactions of the Royal Society of London A . 183 : 423–480. Bibcode :1892RSPTA.183..423H. doi : 10.1098/rsta.1892.0011 . JSTOR  90590.
• Macfarlane, A. (1891). "Principios del álgebra de la física". Actas de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia . 40 : 65–117.
• Macfarlane, A. (1894). "Artículo 2: El imaginario del álgebra". Artículos sobre análisis espacial. Nueva York: B. Westerman.
• Macfarlane, A. (1900). "Análisis espacial: resumen de doce conferencias". Universidad de Lehigh .
• Macfarlane, A. (enero de 1902). "Cuaterniones hiperbólicos". Actas de la Royal Society of Edinburgh . 23 : 169–180. doi :10.1017/S0370164600010385.Internet Archive (gratis) o Google Books (gratis). (Nota: la página 177 y la placa de figuras no están completamente escaneadas en las versiones gratuitas).
• Mathews, GBM (1913). "Un álgebra para físicos". Nature . 91 (2284): 595–6. Código Bibliográfico :1913Natur..91..595G. doi : 10.1038/091595b0 .
• Alexander Macfarlane y el anillo de cuaterniones hiperbólicos