En matemáticas , el adjetivo trivial se utiliza a menudo para referirse a una afirmación o un caso que se puede obtener fácilmente del contexto, o un objeto que posee una estructura simple (por ejemplo, grupos , espacios topológicos ). [1] [2] El sustantivo trivialidad suele referirse a un aspecto técnico simple de alguna prueba o definición. El origen del término en el lenguaje matemático proviene del currículo medieval trivium , que se distingue del currículo más difícil quadrivium . [1] [3] El opuesto de trivial es no trivial , que se utiliza comúnmente para indicar que un ejemplo o una solución no es simple, o que un enunciado o un teorema no es fácil de demostrar. [2]
El juicio sobre si una situación en cuestión es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia de ella, mientras que para alguien que nunca la ha visto, puede ser incluso difícil de entender, por lo que no es trivial en absoluto. Y puede haber una discusión sobre cuán rápida y fácilmente debe reconocerse un problema para que se lo trate como trivial. Por lo tanto, la trivialidad no es una propiedad universalmente aceptada en matemáticas y lógica.
En matemáticas, el término "trivial" se utiliza a menudo para referirse a objetos (por ejemplo, grupos, espacios topológicos) con una estructura muy simple. Entre ellos se incluyen:
El término " trivial " también se puede utilizar para describir soluciones de una ecuación que tienen una estructura muy simple, pero que, por razones de exhaustividad, no se pueden omitir. Estas soluciones se denominan soluciones triviales . Por ejemplo, considere la ecuación diferencial
donde es una función cuya derivada es . La solución trivial es la función cero
mientras que una solución no trivial es la función exponencial
La ecuación diferencial con condiciones de contorno es importante en matemáticas y física, ya que podría usarse para describir una partícula en una caja en mecánica cuántica, o una onda estacionaria en una cuerda. Siempre incluye la solución , que se considera obvia y, por lo tanto, se denomina solución "trivial". En algunos casos, puede haber otras soluciones ( sinusoides ), que se denominan soluciones "no triviales". [4]
De manera similar, los matemáticos a menudo describen el último teorema de Fermat como una afirmación de que no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación , donde n es mayor que 2. Claramente, existen algunas soluciones para la ecuación. Por ejemplo, es una solución para cualquier n , pero dichas soluciones son obvias y obtenibles con poco esfuerzo, y por lo tanto "triviales".
Trivial también puede referirse a cualquier caso fácil de una prueba, que por razones de exhaustividad no puede ignorarse. Por ejemplo, las pruebas por inducción matemática tienen dos partes: el "caso base", que muestra que el teorema es verdadero para un valor inicial particular (como n = 0 o n = 1), y el paso inductivo, que muestra que si el teorema es verdadero para un cierto valor de n , entonces también es verdadero para el valor n + 1. El caso base es a menudo trivial y se identifica como tal, aunque hay situaciones en las que el caso base es difícil pero el paso inductivo es trivial. De manera similar, uno podría querer demostrar que alguna propiedad es poseída por todos los miembros de un cierto conjunto. La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío y examinará los miembros en detalle; en el caso en que el conjunto esté vacío, la propiedad es trivialmente poseída por todos los miembros del conjunto vacío, ya que no hay ninguno (ver verdad vacía para más información).
El juicio de si una situación en cuestión es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia de ella, mientras que para alguien que nunca la ha visto, puede ser incluso difícil de entender, por lo que no es trivial en absoluto. Y puede haber una discusión sobre cuán rápida y fácilmente debe reconocerse un problema para que se lo trate como trivial. Los siguientes ejemplos muestran la subjetividad y ambigüedad del juicio de trivialidad.
La trivialidad también depende del contexto. Una demostración en análisis funcional probablemente supondría, dado un número, de manera trivial la existencia de un número mayor. Sin embargo, cuando se prueban resultados básicos sobre los números naturales en la teoría elemental de números , la demostración puede muy bien depender de la observación de que todo número natural tiene un sucesor, una afirmación que debería ser probada o tomada como un axioma, por lo que no es trivial (para más información, véase los axiomas de Peano ).
En algunos textos, una prueba trivial se refiere a una afirmación que implica una implicación material P → Q, donde el consecuente Q es siempre verdadero. [5] Aquí, la prueba se sigue inmediatamente en virtud de la definición de implicación material en la que la implicación es verdadera independientemente del valor de verdad del antecedente P si el consecuente se fija como verdadero. [5]
Un concepto relacionado es una verdad vacía , donde el antecedente P en una implicación material P → Q es falso. [5] En este caso, la implicación es siempre verdadera independientemente del valor de verdad del consecuente Q – nuevamente en virtud de la definición de implicación material. [5]
