Efecto mariposa

Idea de que pequeñas causas pueden tener grandes efectos

Gráfica del atractor extraño de Lorenz para valores ρ=28, σ = 10, β = 8/3. El efecto mariposa o dependencia sensible de las condiciones iniciales es la propiedad de un sistema dinámico que, a partir de cualquiera de varias condiciones iniciales alternativas arbitrariamente cercanas en el atractor, los puntos iterados se dispersarán arbitrariamente entre sí.

Demostración experimental del efecto mariposa con seis grabaciones del mismo péndulo doble . En cada grabación, el péndulo parte de una condición inicial prácticamente idéntica. Con el tiempo, las diferencias en la dinámica van pasando de ser casi imperceptibles a ser drásticas.

En la teoría del caos , el efecto mariposa es la dependencia sensible de las condiciones iniciales en la que un pequeño cambio en un estado de un sistema no lineal determinista puede resultar en grandes diferencias en un estado posterior.

El término está estrechamente asociado con el trabajo del matemático y meteorólogo Edward Norton Lorenz . Observó que el efecto mariposa se deriva del ejemplo de los detalles de un tornado (el momento exacto de formación, la ruta exacta tomada) que se ven influenciados por perturbaciones menores, como una mariposa distante que bate sus alas varias semanas antes. Lorenz utilizó originalmente una gaviota que causa una tormenta, pero fue persuadido de hacerlo más poético con el uso de una mariposa y un tornado en 1972. ^{[1] [2]} Descubrió el efecto cuando observó ejecuciones de su modelo meteorológico con datos de condiciones iniciales que se redondearon de una manera aparentemente intrascendente. Observó que el modelo meteorológico no reproduciría los resultados de las ejecuciones con los datos de condiciones iniciales no redondeados. Un cambio muy pequeño en las condiciones iniciales había creado un resultado significativamente diferente. ^[3]

La idea de que pequeñas causas pueden tener grandes efectos en el clima fue reconocida anteriormente por el matemático y físico francés Henri Poincaré . El matemático y filósofo estadounidense Norbert Wiener también contribuyó a esta teoría. El trabajo de Lorenz colocó el concepto de inestabilidad de la atmósfera terrestre sobre una base cuantitativa y vinculó el concepto de inestabilidad a las propiedades de grandes clases de sistemas dinámicos que experimentan dinámicas no lineales y caos determinista . ^[4]

El concepto de efecto mariposa se ha utilizado desde entonces fuera del contexto de la ciencia meteorológica como un término amplio para cualquier situación en la que se supone que un pequeño cambio es la causa de consecuencias mayores.

Historia

En La vocación del hombre (1800), Johann Gottlieb Fichte dice que "no se podría sacar un solo grano de arena de su lugar sin que con ello... se cambiara algo en todas las partes del inmensurable todo".

La teoría del caos y la dependencia sensible de las condiciones iniciales se han descrito en numerosas formas de literatura. Prueba de ello es el caso del problema de los tres cuerpos planteado por Poincaré en 1890. ^[5] Posteriormente propuso que tales fenómenos podrían ser comunes, por ejemplo, en meteorología. ^[6]

En 1898, Jacques Hadamard observó una divergencia general de trayectorias en espacios de curvatura negativa. Pierre Duhem analizó el posible significado general de esto en 1908. ^[5]

En 1950, Alan Turing señaló: "El desplazamiento de un solo electrón en una milmillonésima de centímetro en un momento dado podría marcar la diferencia entre que un hombre muera a causa de una avalancha un año después o que escape". ^[7]

La idea de que la muerte de una mariposa podría tener un efecto dominó de largo alcance en los eventos históricos posteriores apareció por primera vez en " Un sonido de trueno ", un cuento de Ray Bradbury de 1952. "Un sonido de trueno" presenta viajes en el tiempo. ^[8]

Pero, más precisamente, casi la idea exacta y la frase exacta —de la ala de un pequeño insecto que afecta a los vientos de toda la atmósfera— se publicaron en un libro infantil que tuvo mucho éxito y fue conocido mundialmente en 1962, un año antes de que Lorenz publicara:

"...todo lo que hacemos afecta a todo y a todos, aunque sea en la forma más mínima. Cuando una mosca bate sus alas, una brisa recorre el mundo."

--La ​​Princesa de la Razón Pura

—  Norton Juster, El peaje fantasma

En 1961, Lorenz estaba ejecutando un modelo numérico de computadora para rehacer una predicción meteorológica a partir de la mitad de la ejecución anterior como un atajo. Ingresó la condición inicial 0,506 de la impresión en lugar de ingresar el valor de precisión total 0,506127. El resultado fue un escenario meteorológico completamente diferente. ^[9]

Lorenz escribió:

En un momento dado, decidí repetir algunos de los cálculos para examinar con más detalle lo que estaba sucediendo. Detuve el ordenador, escribí una línea de números que había impreso hacía un rato y lo puse en marcha de nuevo. Fui al pasillo a tomar una taza de café y volví al cabo de una hora, durante la cual el ordenador había simulado el tiempo de unos dos meses. Los números que se imprimían no se parecían en nada a los antiguos. Inmediatamente sospeché que se trataba de un tubo de vacío débil o de algún otro problema informático, lo que no era infrecuente, pero antes de llamar al servicio técnico decidí ver dónde se había producido el error, sabiendo que esto podría acelerar el proceso de reparación. En lugar de una interrupción repentina, descubrí que los nuevos valores al principio repetían los antiguos, pero poco después diferían en una y luego en varias unidades en el último decimal, y luego empezaron a diferir en el penúltimo y luego en el anterior. De hecho, las diferencias se duplicaron de forma más o menos constante cada cuatro días aproximadamente, hasta que toda semejanza con el resultado original desapareció en algún momento del segundo mes. Esto fue suficiente para darme cuenta de lo que había sucedido: los números que había escrito no eran exactamente los números originales, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores iniciales de redondeo eran los culpables; se fueron amplificando de manera constante hasta que dominaron la solución.

—  ES Lorenz, La esencia del caos , U. Washington Press, Seattle (1993), página 134 ^[10]

En 1963, Lorenz publicó un estudio teórico de este efecto en un artículo seminal muy citado llamado Deterministic Nonperiodic Flow ^{[3] [11]} (los cálculos se realizaron en una computadora Royal McBee LGP-30 ). ^{[12] [13]} En otra parte afirmó:

Un meteorólogo comentó que, si la teoría fuera correcta, bastaría un aleteo de una gaviota para alterar el curso del tiempo para siempre. La controversia aún no se ha zanjado, pero las pruebas más recientes parecen favorecer a las gaviotas. ^[13]

Siguiendo las propuestas de sus colegas, en discursos y artículos posteriores, Lorenz utilizó el término más poético mariposa . Según Lorenz, cuando no pudo proporcionar un título para una charla que iba a presentar en la 139.ª reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1972, Philip Merilees ideó el título ¿El aleteo de las alas de una mariposa en Brasil desencadena un tornado en Texas? ^[1] Aunque una mariposa que bate sus alas se ha mantenido constante en la expresión de este concepto, la ubicación de la mariposa, las consecuencias y la ubicación de las consecuencias han variado ampliamente. ^[14]

La frase se refiere al efecto de las alas de una mariposa que crean pequeños cambios en la atmósfera que pueden, en última instancia, alterar la trayectoria de un tornado o retrasar, acelerar o incluso evitar la ocurrencia de un tornado en otro lugar. La mariposa no impulsa ni crea directamente el tornado, pero el término pretende dar a entender que el aleteo de las alas de la mariposa puede causar el tornado: en el sentido de que el aleteo de las alas es parte de las condiciones iniciales de una red compleja interconectada; un conjunto de condiciones conduce a un tornado, mientras que el otro conjunto de condiciones no lo hace. El aleteo crea un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, que se traduce en alteraciones de eventos a gran escala (compárese: efecto dominó ). Si la mariposa no hubiera agitado sus alas, la trayectoria del sistema podría haber sido muy diferente, pero también es igualmente posible que el conjunto de condiciones sin la mariposa agitando sus alas sea el conjunto que conduce a un tornado.

El efecto mariposa plantea un desafío evidente a la predicción, ya que las condiciones iniciales de un sistema como el clima nunca pueden conocerse con total exactitud. Este problema motivó el desarrollo de la predicción por conjuntos , en la que se realizan una serie de predicciones a partir de condiciones iniciales perturbadas. ^[15]

Algunos científicos han argumentado desde entonces que el sistema meteorológico no es tan sensible a las condiciones iniciales como se creía anteriormente. ^[16] David Orrell sostiene que el principal contribuyente al error de predicción meteorológica es el error del modelo, y que la sensibilidad a las condiciones iniciales juega un papel relativamente pequeño. ^{[17] [18]} Stephen Wolfram también señala que las ecuaciones de Lorenz están muy simplificadas y no contienen términos que representen efectos viscosos; cree que estos términos tenderían a amortiguar pequeñas perturbaciones. ^[19] Estudios recientes que utilizan modelos generalizados de Lorenz que incluyen términos disipativos adicionales y no linealidad sugirieron que se requiere un parámetro de calentamiento mayor para el inicio del caos. ^[20]

Aunque el "efecto mariposa" suele explicarse como sinónimo de una dependencia sensible de las condiciones iniciales del tipo descrito por Lorenz en su artículo de 1963 (y observado previamente por Poincaré), la metáfora de la mariposa se aplicó originalmente ^[1] a un trabajo que publicó en 1969 ^[21] que llevó la idea un paso más allá. Lorenz propuso un modelo matemático para explicar cómo los pequeños movimientos en la atmósfera aumentan de escala para afectar a sistemas más grandes. Descubrió que los sistemas de ese modelo solo podían predecirse hasta un punto específico en el futuro y, más allá de eso, reducir el error en las condiciones iniciales no aumentaría la predictibilidad (siempre que el error no sea cero). Esto demostró que un sistema determinista podría ser "observacionalmente indistinguible" de uno no determinista en términos de predictibilidad. Reexámenes recientes de este artículo sugieren que ofrecía un desafío significativo a la idea de que nuestro universo es determinista, comparable a los desafíos que ofrece la física cuántica. ^{[22] [23]}

En el libro titulado La esencia del caos publicado en 1993, ^[24] Lorenz definió el efecto mariposa como: "El fenómeno por el cual una pequeña alteración en el estado de un sistema dinámico hará que los estados subsiguientes difieran en gran medida de los estados que habrían seguido sin la alteración". Esta característica es la misma que la dependencia sensible de las soluciones respecto de las condiciones iniciales (SDIC) en . ^[3] En el mismo libro, Lorenz aplicó la actividad de esquiar y desarrolló un modelo de esquí idealizado para revelar la sensibilidad de las trayectorias que varían con el tiempo respecto de las posiciones iniciales. Se determina un horizonte de predictibilidad antes del inicio de la SDIC. ^[25]

Ilustraciones

Teoría y definición matemática

La recurrencia , el retorno aproximado de un sistema a sus condiciones iniciales, junto con una dependencia sensible de las condiciones iniciales, son los dos ingredientes principales del movimiento caótico. Tienen la consecuencia práctica de hacer que los sistemas complejos , como el clima , sean difíciles de predecir más allá de un cierto rango de tiempo (aproximadamente una semana en el caso del clima), ya que es imposible medir las condiciones atmosféricas iniciales con total precisión.

Un sistema dinámico muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales si puntos arbitrariamente cercanos se separan con el tiempo a una tasa exponencial. La definición no es topológica, sino esencialmente métrica. Lorenz ^[24] definió la dependencia sensible de la siguiente manera:

La propiedad que caracteriza a una órbita (es decir, una solución) si la mayoría de las otras órbitas que pasan cerca de ella en algún momento no permanecen cerca de ella a medida que avanza el tiempo.

Si M es el espacio de estados para el mapa , entonces muestra dependencia sensible a las condiciones iniciales si para cualquier x en M y cualquier δ > 0, hay y en M , con distancia d (. , .) tales que y tales que ${\displaystyle f^{t}}$ ${\displaystyle f^{t}}$ ${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

para algún parámetro positivo a . La definición no requiere que todos los puntos de un entorno se separen del punto base x , pero sí requiere un exponente de Lyapunov positivo . Además de un exponente de Lyapunov positivo, la acotación es otra característica importante dentro de los sistemas caóticos. ^[26]

El marco matemático más simple que muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales lo proporciona una parametrización particular del mapa logístico :

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

que, a diferencia de la mayoría de los mapas caóticos, tiene una solución de forma cerrada :

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

donde el parámetro de condición inicial está dado por . Para racional , después de un número finito de iteraciones se asigna a una secuencia periódica . Pero casi todos son irracionales y, para irracional , nunca se repite a sí mismo – es no periódico. Esta ecuación de solución demuestra claramente las dos características clave del caos – estiramiento y plegado: el factor 2 ⁿ muestra el crecimiento exponencial del estiramiento, que resulta en una dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa), mientras que la función seno al cuadrado se mantiene plegada dentro del rango [0, 1]. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

En sistemas físicos

En el clima

Descripción general

El efecto mariposa es más conocido en términos meteorológicos; se puede demostrar fácilmente en los modelos estándar de predicción meteorológica, por ejemplo. Los científicos del clima James Annan y William Connolley explican que el caos es importante en el desarrollo de métodos de predicción meteorológica; los modelos son sensibles a las condiciones iniciales. Añaden la advertencia: "Por supuesto, la existencia de una mariposa desconocida que bate sus alas no tiene una relación directa con las previsiones meteorológicas, ya que una perturbación tan pequeña tardará demasiado tiempo en alcanzar un tamaño significativo, y tenemos muchas más incertidumbres inmediatas de las que preocuparnos. Por lo tanto, el impacto directo de este fenómeno en la predicción meteorológica suele ser algo erróneo". ^[27]

Diferenciando los tipos de efectos mariposa

El concepto de efecto mariposa abarca varios fenómenos. Los dos tipos de efectos mariposa, incluida la dependencia sensible de las condiciones iniciales ^[3] y la capacidad de una pequeña perturbación para crear una circulación organizada a grandes distancias ^[1] , no son exactamente lo mismo. ^[28] En Palmer et al. ^[22] se introduce un nuevo tipo de efecto mariposa, destacando el impacto potencial de los procesos de pequeña escala en la predictibilidad finita dentro del modelo de Lorenz de 1969. Además, la identificación de aspectos mal condicionados del modelo de Lorenz de 1969 apunta a una forma práctica de predictibilidad finita. ^[25] Estos dos mecanismos distintos que sugieren predictibilidad finita en el modelo de Lorenz de 1969 se denominan colectivamente el tercer tipo de efecto mariposa. ^[29] Los autores en ^[29] han considerado las sugerencias de Palmer et al. y han tenido como objetivo presentar su perspectiva sin plantear argumentos específicos.

El tercer tipo de efecto mariposa con predictibilidad finita, como se analiza en ^{[22], se propuso principalmente con base en una serie geométrica convergente, conocida como fórmulas de Lorenz y Lilly. Los debates actuales abordan la validez de estas dos fórmulas para estimar los límites de predictibilidad en [30]} .

Se ha documentado una comparación de los dos tipos de efectos mariposa ^{[1] [3]} y el tercer tipo de efecto mariposa ^{[21] [22] [23] . [29]} En estudios recientes, ^{[25] [31]} se informó que los modelos lineales meteorológicos y no meteorológicos han demostrado que la inestabilidad juega un papel en la producción de un efecto mariposa, que se caracteriza por un crecimiento exponencial breve pero significativo resultante de una pequeña perturbación.

Debates recientes sobre el efecto mariposa

El primer tipo de efecto mariposa (BE1), conocido como SDIC (Sensitive Dependence on Initial Conditions), es ampliamente reconocido y demostrado a través de modelos caóticos idealizados. Sin embargo, las opiniones difieren con respecto al segundo tipo de efecto mariposa, específicamente el impacto de una mariposa batiendo sus alas en la formación de tornados, como se indica en dos artículos de 2024. ^{[32] [33]} En discusiones más recientes publicadas por Physics Today , ^{[34] [35]} se reconoce que el segundo tipo de efecto mariposa (BE2) nunca se ha verificado rigurosamente utilizando un modelo meteorológico realista. Si bien los estudios sugieren que BE2 es poco probable en la atmósfera real, ^{[32] [34]} su invalidez en este contexto no niega la aplicabilidad de BE1 en otras áreas, como pandemias o eventos históricos. ^[36]

En el caso del tercer tipo de efecto mariposa, la limitada predictibilidad del modelo de Lorenz de 1969 se explica por las interacciones de escala en un artículo ^[22] y por el mal condicionamiento del sistema en otro estudio más reciente. ^[25]

Predicbilidad finita en sistemas caóticos

Según Lighthill (1986), ^[37] la presencia de SDIC (comúnmente conocido como efecto mariposa) implica que los sistemas caóticos tienen un límite de predictibilidad finito. En una revisión de la literatura, ^[38] se encontró que la perspectiva de Lorenz sobre el límite de predictibilidad se puede resumir en la siguiente afirmación:

• (A) El modelo de Lorenz de 1963 reveló cualitativamente la esencia de una predictibilidad finita dentro de un sistema caótico como la atmósfera. Sin embargo, no determinó un límite preciso para la predictibilidad de la atmósfera.
• (B) En la década de 1960, el límite de predictibilidad de dos semanas se estimó originalmente basándose en un tiempo de duplicación de cinco días en modelos del mundo real. Desde entonces, este hallazgo ha sido documentado en Charney et al. (1966) ^{[39] [40]} y se ha convertido en un consenso.

Recientemente, se ha creado un vídeo corto para presentar la perspectiva de Lorenz sobre el límite de predictibilidad. ^[41]

Un estudio reciente se refiere al límite de predictibilidad de dos semanas, calculado inicialmente en la década de 1960 con el tiempo de duplicación de cinco días del modelo Mintz-Arakawa, como la "hipótesis del límite de predictibilidad". ^[42] Inspirado en la Ley de Moore, este término reconoce las contribuciones colaborativas de Lorenz, Mintz y Arakawa bajo el liderazgo de Charney. La hipótesis respalda la investigación sobre predicciones de rango extendido utilizando métodos de física basados ​​en ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y técnicas de inteligencia artificial (IA).

Perspectivas revisadas sobre sistemas caóticos y no caóticos

Al revelar atractores caóticos y no caóticos coexistentes dentro de los modelos de Lorenz, Shen y sus colegas propusieron una visión revisada de que "el clima posee caos y orden", en contraste con la visión convencional de que "el clima es caótico". ^{[43] [44] [45]} Como resultado, la dependencia sensible a las condiciones iniciales (SDIC) no siempre aparece. Es decir, la SDIC aparece cuando dos órbitas (es decir, soluciones) se convierten en el atractor caótico; no aparece cuando dos órbitas se mueven hacia el mismo punto atractor. La animación anterior para el movimiento del péndulo doble proporciona una analogía. Para grandes ángulos de oscilación, el movimiento del péndulo suele ser caótico. ^{[46] [47]} En comparación, para pequeños ángulos de oscilación, los movimientos no son caóticos. La multiestabilidad se define cuando un sistema (por ejemplo, el sistema del péndulo doble ) contiene más de un atractor acotado que depende solo de las condiciones iniciales. La multiestabilidad se ilustró utilizando kayak en la Figura del lado derecho (es decir, la Figura 1 de ^[48] ) donde la aparición de fuertes corrientes y un área estancada sugiere inestabilidad y estabilidad local, respectivamente. Como resultado, cuando dos kayaks se mueven a lo largo de fuertes corrientes, sus trayectorias muestran SDIC. Por otro lado, cuando dos kayaks se mueven en un área estancada, quedan atrapados, sin mostrar SDIC típico (aunque puede ocurrir un transitorio caótico). Tales características de SDIC o no SDIC sugieren dos tipos de soluciones e ilustran la naturaleza de la multiestabilidad.

Teniendo en cuenta la multiestabilidad variable en el tiempo que está asociada con la modulación de procesos a gran escala (por ejemplo, el forzamiento estacional) y la retroalimentación agregada de procesos a pequeña escala (por ejemplo, la convección), la visión revisada anterior se perfecciona de la siguiente manera:

"La atmósfera posee caos y orden; incluye, como ejemplos, sistemas organizados emergentes (como tornados) y fuerzas que varían en el tiempo a partir de estaciones recurrentes". ^{[48] [49]}

En mecánica cuántica

El potencial de dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa) se ha estudiado en varios casos en física semiclásica y cuántica , incluidos los átomos en campos fuertes y el problema anisotrópico de Kepler . ^{[50] [51]} Algunos autores han argumentado que no se espera una dependencia extrema (exponencial) de las condiciones iniciales en tratamientos cuánticos puros; ^{[52] [53]} sin embargo, la dependencia sensible de las condiciones iniciales demostrada en el movimiento clásico está incluida en los tratamientos semiclásicos desarrollados por Martin Gutzwiller ^[54] y John B. Delos y colaboradores. ^[55] La teoría de matrices aleatorias y las simulaciones con computadoras cuánticas prueban que algunas versiones del efecto mariposa en la mecánica cuántica no existen. ^[56]

Otros autores sugieren que el efecto mariposa se puede observar en sistemas cuánticos. Zbyszek P. Karkuszewski et al. consideran la evolución temporal de sistemas cuánticos que tienen hamiltonianos ligeramente diferentes . Investigan el nivel de sensibilidad de los sistemas cuánticos a pequeños cambios en sus hamiltonianos dados. ^[57] David Poulin et al. presentaron un algoritmo cuántico para medir el decaimiento de la fidelidad, que "mide la velocidad a la que los estados iniciales idénticos divergen cuando se someten a dinámicas ligeramente diferentes". Consideran que el decaimiento de la fidelidad es "el análogo cuántico más cercano al efecto mariposa (puramente clásico)". ^[58] Mientras que el efecto mariposa clásico considera el efecto de un pequeño cambio en la posición y/o velocidad de un objeto en un sistema hamiltoniano dado , el efecto mariposa cuántico considera el efecto de un pequeño cambio en el sistema hamiltoniano con una posición y velocidad iniciales dadas. ^{[59] [60]} Este efecto mariposa cuántico se ha demostrado experimentalmente. ^[61] Los tratamientos cuánticos y semiclásicos de la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales se conocen como caos cuántico . ^{[52] [59]}

En la cultura popular

El efecto mariposa ha aparecido en medios como la literatura (por ejemplo, A Sound of Thunder ), películas y televisión (como Los Simpsons ), videojuegos (como Life Is Strange ), webcomics (como Homestuck ), modelos de lenguaje expansivos impulsados ​​por IA y más.

Véase también

• Efecto avalancha
• Cúspide conductual
• Fallo en cascada
• Teoría de catástrofes
• Causalidad
• Reacción en cadena
• Clapotis
• Determinismo
• Efecto dominó
• Sistema dinámico
• Fractal
• La gran controversia del estribo
• Mariposa de la innovación
• Síndrome de Kessler
• La cúpula de Norton
• Análisis numérico
• Punto de divergencia
• Retroalimentación positiva
• Potencialidad y actualidad
• Heurística de representatividad
• Efecto dominó
• Efecto bola de nieve
• Congestión del tráfico
• Ciclogénesis tropical
• Consecuencias no deseadas

Referencias

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Lectura adicional

• James Gleick , Caos: creando una nueva ciencia , Nueva York: Viking, 1987. 368 pp.
• Devaney, Robert L. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos caóticos . Westview Press. ISBN 0670811785.
• Hilborn, Robert C. (2004). "Gaviotas, mariposas y saltamontes: una breve historia del efecto mariposa en dinámica no lineal". American Journal of Physics . 72 (4): 425–427. Bibcode :2004AmJPh..72..425H. doi :10.1119/1.1636492.
• Bradbury, Ray. "El sonido de un trueno". Collier's. 28 de junio de 1952

Enlaces externos

• Clima y caos: la obra de Edward N. Lorenz. Un breve documental que explica el "efecto mariposa" en el contexto de la obra de Lorenz.
• El hipertexto del caos. Una introducción al caos y los fractales
• Dizikes, Peter (8 de junio de 2008). "El significado de la mariposa. Por qué a la cultura pop le encanta el 'efecto mariposa' y se equivoca por completo". The Boston Globe . Boston, Massachusetts . Consultado el 19 de junio de 2022 .
• Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra - Conceptos: Efecto mariposa
• ChaosBook.org. Libro de texto avanzado para graduados sobre el caos (sin fractales)
• Weisstein, Eric W. "Efecto mariposa". MathWorld .