Teorema de recurrencia de Poincaré

Ciertos sistemas dinámicos eventualmente volverán a (o se aproximarán) a su estado inicial.

En matemáticas y física , el teorema de recurrencia de Poincaré establece que ciertos sistemas dinámicos , después de un tiempo suficientemente largo pero finito, volverán a un estado arbitrariamente cercano (para sistemas de estados continuos), o exactamente igual (para sistemas de estados discretos), su estado inicial.

El tiempo de recurrencia de Poincaré es el tiempo transcurrido hasta la recurrencia. Este tiempo puede variar mucho dependiendo del estado inicial exacto y del grado de cercanía requerido. El resultado se aplica a sistemas mecánicos aislados sujetos a algunas restricciones, por ejemplo, todas las partículas deben estar unidas a un volumen finito. El teorema se discute comúnmente en el contexto de la teoría ergódica , los sistemas dinámicos y la mecánica estadística . Los sistemas a los que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré se denominan sistemas conservadores .

El teorema lleva el nombre de Henri Poincaré , quien lo analizó en 1890 ^{[1] [2]} y lo demostró Constantin Carathéodory utilizando la teoría de la medida en 1919. ^{[3] [4]}

Formulación precisa

Cualquier sistema dinámico definido por una ecuación diferencial ordinaria determina un mapa de flujo en ^el espacio de fases sobre sí mismo. Se dice que el sistema conserva el volumen si el volumen de un conjunto en el espacio de fases es invariante bajo el flujo. Por ejemplo, todos los sistemas hamiltonianos conservan el volumen debido al teorema de Liouville . El teorema es entonces: si un flujo conserva volumen y solo tiene órbitas acotadas, entonces, para cada conjunto abierto, cualquier órbita que interseque a este conjunto abierto lo interseca infinitamente. ^[5] 

Discusión de la prueba

La prueba, hablando cualitativamente, depende de dos premisas: ^[6]

1. Se puede establecer un límite superior finito en el volumen total del espacio de fase potencialmente accesible. Para un sistema mecánico, este límite puede lograrse exigiendo que el sistema esté contenido en una región física limitada del espacio (de modo que no pueda, por ejemplo, expulsar partículas que nunca regresan); combinado con la conservación de la energía, esto bloquea el sistema en una región finita en el espacio de fases .
2. El volumen de fase de un elemento finito en condiciones dinámicas se conserva (en un sistema mecánico, esto lo garantiza el teorema de Liouville ).

Imagine cualquier volumen inicial finito del espacio de fase y siga su camino bajo la dinámica del sistema. El volumen evoluciona a través de un "tubo de fase" en el espacio de fases, manteniendo su tamaño constante. Suponiendo un espacio de fase finito, después de cierto número de pasos el tubo de fase debe intersectarse. Esto significa que al menos una fracción finita del volumen inicial es recurrente. Ahora, considere el tamaño de la porción que no regresa del volumen de la fase inicial: esa porción que nunca regresa al volumen inicial. Usando el principio que acabamos de analizar en el último párrafo, sabemos que si la porción que no regresa es finita, entonces una parte finita debe regresar después de los pasos. Pero eso sería una contradicción, ya que en un número de mcm de paso, ambos ya estarían regresando, contra la hipótesis de que sólo estaba. Por lo tanto, la porción que no regresa del volumen inicial no puede ser el conjunto vacío, es decir, todo es recurrente después de cierto número de pasos. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}=}$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2})}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

El teorema no comenta ciertos aspectos de la recurrencia que esta prueba no puede garantizar:

• Puede haber algunas fases especiales que nunca regresan al volumen de la fase inicial, o que solo regresan al volumen inicial un número finito de veces y luego nunca regresan nuevamente. Sin embargo, estos son extremadamente "raros" y constituyen una parte infinitesimal de cualquier volumen inicial.
• No es necesario que todas las partes del volumen de fase regresen al mismo tiempo. Algunos "perderán" el volumen inicial en la primera pasada, sólo para regresar más tarde.
• Nada impide que el tubo de fase vuelva completamente a su volumen inicial antes de que se agote todo el volumen de fase posible. Un ejemplo trivial de esto es el oscilador armónico . Los sistemas que cubren todo el volumen de fase accesible se denominan ergódicos (esto, por supuesto, depende de la definición de "volumen accesible").
• Lo que se puede decir es que para "casi cualquier" fase inicial, un sistema eventualmente regresará arbitrariamente cerca de esa fase inicial. El tiempo de recurrencia depende del grado de cercanía requerido (el tamaño del volumen de fase). Para lograr una mayor precisión de la recurrencia, debemos tomar un volumen inicial más pequeño, lo que significa un tiempo de recurrencia más prolongado.
• Para una fase determinada de un volumen, la recurrencia no es necesariamente una recurrencia periódica. No es necesario que el tiempo de la segunda recurrencia sea el doble del tiempo de la primera recurrencia.

Declaración formal

Dejar

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

ser un espacio de medida finita y dejar

${\displaystyle f\colon X\to X}$

ser una transformación que preserve la medida . A continuación se muestran dos enunciados alternativos del teorema.

Teorema 1

Para cualquiera , el conjunto de aquellos puntos de para los cuales existe tal que para todos tiene medida cero. ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$ ${\displaystyle n>N}$

En otras palabras, casi todos los puntos de retornos a . De hecho, casi todos los puntos regresan con una frecuencia infinita; es decir ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:{\text{ there exists }}N{\text{ such that }}f^{n}(x)\notin E{\text{ for all }}n>N\}\right)=0.}$

Teorema 2

La siguiente es una versión topológica de este teorema:

Si es un segundo espacio de Hausdorff contable y contiene el álgebra sigma de Borel , entonces el conjunto de puntos recurrentes de tiene medida completa. Es decir, casi todos los puntos son recurrentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$

De manera más general, el teorema se aplica a sistemas conservadores , y no sólo a sistemas dinámicos que conservan medidas. En términos generales, se puede decir que los sistemas conservadores son precisamente aquellos a los que se aplica el teorema de recurrencia.

Versión mecánica cuántica

Para sistemas de mecánica cuántica independientes del tiempo con estados propios de energía discretos, se cumple un teorema similar. Para cada y existe un tiempo T mayor que , tal que , donde denota el vector de estado del sistema en el tiempo  t . ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}>0}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon }$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

Los elementos esenciales de la prueba son los siguientes. El sistema evoluciona en el tiempo según:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle }$

donde son los valores propios de energía (usamos unidades naturales, por lo tanto ) y son los estados propios de energía . La norma al cuadrado de la diferencia del vector de estado en el tiempo y en el tiempo cero se puede escribir como: ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

Podemos truncar la sumatoria en algún n  =  N independiente de T , porque

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

que puede hacerse arbitrariamente pequeño aumentando N , ya que la sumatoria , siendo la norma al cuadrado del estado inicial, converge a 1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

la suma finita

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

se puede hacer arbitrariamente pequeño para elecciones específicas del tiempo T , de acuerdo con la siguiente construcción. Elija un arbitrario y luego elija T tal que haya números enteros que satisfagan ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle k_{n}}$

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta }$,

para todos los números . Para esta elección específica de T , ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$

Como tal, tenemos:

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}$.

Por tanto, el vector de estado regresa arbitrariamente cerca del estado inicial . ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

Ver también

• El mapa del gato de Arnold
• Hipótesis ergódica
• Renacimiento cuántico
• Entropía de densidad del período de recurrencia
• Gráfico de recurrencia
• conjunto errante

Referencias

1. Poincaré, H. (1890). "Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica". Acta Matemáticas . 13 : 1–270.
2. Poincaré, Œuvres VII, 262–490 (teorema 1 sección 8)
3. Carathéodory, C. (1919). "Über den Wiederkehrsatz von Poincaré". Berl. Sitzungsber : 580–584.
4. Carathéodory, Ges. matemáticas. Schr. IV, 296–301
5. Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (ed.). La recurrencia de Poincaré: lo viejo y lo nuevo . XIV Congreso Internacional de Física Matemática. Científico Mundial . págs. 415–422. doi :10.1142/9789812704016_0039. ISBN 978-981-256-201-2.
6. Gibbs, Josías Willard (1902). Principios elementales de la mecánica estadística . Nueva York, NY: Hijos de Charles Scribner . Capítulo X.
7. Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). "Teorema de recurrencia cuántica". Física. Apocalipsis 107 (2): 337–338. Código bibliográfico : 1957PhRv..107..337B. doi : 10.1103/PhysRev.107.337.
8. Percival, IC (1961). "Casi periodicidad y el teorema de Quantal H". J. Matemáticas. Física. 2 (2): 235–239. Código bibliográfico : 1961JMP......2..235P. doi :10.1063/1.1703705.
9. Schulman, LS (1978). "Nota sobre el teorema de recurrencia cuántica". Física. Rev. A. 18 (5): 2379–2380. Código bibliográfico : 1978PhRvA..18.2379S. doi :10.1103/PhysRevA.18.2379.

Otras lecturas

• Page, Don N. (25 de noviembre de 1994). "¿Pérdida de información en agujeros negros y/o seres conscientes?". arXiv : hep-th/9411193 .

enlaces externos

• Padilla, Toni. "El tiempo más largo". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 27 de noviembre de 2013 . Consultado el 8 de abril de 2013 .Versión reciente del sitio original.
• "Mapa del gato de Arnold: una ilustración gráfica interactiva del teorema de recurrencia de Poincaré".

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