Grupo afable

En matemáticas , un grupo amable es un grupo topológico localmente compacto G que lleva a cabo una especie de operación de promediado sobre funciones acotadas que es invariante bajo la traslación por elementos del grupo. La definición original, en términos de una medida (o media) finitamente aditiva sobre subconjuntos de G , fue introducida por John von Neumann en 1929 bajo el nombre alemán "messbar" ("medible" en inglés) en respuesta a la paradoja de Banach-Tarski . En 1949 Mahlon M. Day introdujo la traducción inglesa "amable", aparentemente como un juego de palabras con " measure ". ^[a]

El paso crítico en la construcción de la paradoja de Banach-Tarski es encontrar dentro del grupo de rotación SO(3) un subgrupo libre en dos generadores. Los grupos susceptibles no pueden contener tales grupos y no permiten este tipo de construcción paradójica.

La amenabilidad tiene muchas definiciones equivalentes. En el campo del análisis , la definición se da en términos de funcionales lineales . Una forma intuitiva de entender esta versión es que el soporte de la representación regular es todo el espacio de representaciones irreducibles .

En la teoría de grupos discretos , donde G tiene la topología discreta , se utiliza una definición más simple. En este contexto, un grupo es aceptable si se puede decir qué proporción de G ocupa cualquier subconjunto dado. Por ejemplo, cualquier subgrupo del grupo de números enteros es generado por algún número entero . Si entonces el subgrupo ocupa una proporción 0. De lo contrario, ocupa de todo el grupo. Aunque tanto el grupo como el subgrupo tienen infinitos elementos, existe un sentido de proporción bien definido. $(\mathbb {Z},+)$ $p\geq 0$ $p=0$ ${\estilo de visualización 1/p}$

Si un grupo tiene una secuencia de Følner entonces es automáticamente susceptible de ser aplicado.

Definición para grupos compactos locales

Sea G un grupo de Hausdorff localmente compacto . Entonces es bien sabido que posee una medida de anillo no trivial única, invariante a la traslación izquierda (o derecha) a escala, la medida de Haar . (Esta es una medida regular de Borel cuando G es contable en segundo orden ; hay medidas izquierdas y derechas cuando G es compacto). Consideremos el espacio de Banach L ^∞ ( G ) de funciones medibles esencialmente acotadas dentro de este espacio de medida (que es claramente independiente de la escala de la medida de Haar).

Definición 1. Se dice que una funcional lineal Λ en Hom( L ^∞ ( G ), R ) es una media si Λ tiene norma 1 y no es negativa, es decir, f ≥ 0 ae implica Λ( f ) ≥ 0.

Definición 2. Se dice que una media Λ en Hom( L ^∞ ( G ), R ) es invariante a la izquierda (respectivamente invariante a la derecha ) si Λ( g · f ) = Λ( f ) para todo g en G , y f en L ^∞ ( G ) con respecto a la acción de desplazamiento a la izquierda (respectivamente a la derecha) de g · f (x) = f ( g ⁻¹x ) (respectivamente f · g (x) = f ( xg ⁻¹ )).

Definición 3. Un grupo de Hausdorff localmente compacto se denomina susceptible si admite una media invariante hacia la izquierda (o hacia la derecha).

Al identificar Hom( L ^∞ ( G ), R ) con el espacio de medidas de Borel finitamente aditivas que son absolutamente continuas con respecto a la medida de Haar en G (un espacio ba ), la terminología se vuelve más natural: una media en Hom( L ^∞ ( G ), R ) induce una medida de Borel finitamente aditiva e invariante a la izquierda en G que le da a todo el grupo un peso de 1.

Ejemplo

Como ejemplo de grupos compactos, considere el grupo circular. El gráfico de una función típica f ≥ 0 parece una curva irregular sobre un círculo, que se puede hacer cortando el extremo de un tubo de papel. La función lineal promediaría la curva cortando un poco de papel de un lugar y pegándolo en otro lugar, creando una parte superior plana nuevamente. Esta es la media invariante, es decir, el valor promedio donde es la medida de Lebesgue. $\Lambda (f)=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f\ d\lambda$ ${\estilo de visualización \lambda}$

La invariancia por la izquierda significaría que al girar el tubo no se modifica la altura de la parte superior plana del extremo. Es decir, solo importa la forma del tubo. Combinado con la linealidad, la positividad y la norma 1, esto es suficiente para demostrar que la media invariante que hemos construido es única.

Como ejemplo de grupos localmente compactos, considere el grupo de números enteros. Una función acotada f es simplemente una función acotada de tipo , y su media es el promedio móvil . $f:\mathbb {Z} \a \mathbb {R}$ $\lim _{n}{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=-n}^{n}f(k)$

Condiciones equivalentes de amenidad

Pier (1984) contiene una descripción exhaustiva de las condiciones de un segundo grupo localmente compacto contable G que son equivalentes a la amenabilidad: ^[2]

Existencia de una media invariante izquierda (o derecha) en L ^∞ ( G ). Definición original, que depende del axioma de elección .
Existencia de estados invariantes por la izquierda. Existe un estado invariante por la izquierda en cualquier subálgebra C* unitaria invariante por la izquierda separable de las funciones continuas acotadas en G.
Propiedad de punto fijo. Cualquier acción del grupo por transformaciones afines continuas sobre un subconjunto compacto y convexo de un espacio vectorial topológico localmente convexo (separable) tiene un punto fijo. Para grupos abelianos localmente compactos, esta propiedad se satisface como resultado del teorema de punto fijo de Markov-Kakutani .
Dual irreducible. Todas las representaciones irreducibles están débilmente contenidas en la representación regular izquierda λ en L ² ( G ).
Representación trivial. La representación trivial de G está débilmente contenida en la representación regular izquierda.
Condición de Godement. Toda medida definida positiva acotada μ en G satisface μ (1) ≥ 0. Valette mejoró este criterio al demostrar que es suficiente pedir que, para toda función definida positiva continua con soporte compacto f en G , la función Δ ^{– 1 ⁄ 2} f tenga una integral no negativa con respecto a la medida de Haar, donde Δ denota la función modular. ^[3]
Condición de invariancia asintótica de Day. Existe una secuencia de funciones integrables no negativas φ _n con integral 1 en G tales que λ( g )φ _n − φ _n tiende a 0 en la topología débil en L ¹ ( G ).
Condición de Reiter. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G existe una función integrable no negativa φ con integral 1 tal que λ( g )φ − φ es arbitrariamente pequeña en L ¹ ( G ) para g en F .
Condición de Dixmier. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G existe un vector unitario f en L ² ( G ) tal que λ( g ) f − f es arbitrariamente pequeño en L ² ( G ) para g en F .
Condición de Glicksberg−Reiter. Para cualquier f en L ¹ ( G ), la distancia entre 0 y la envoltura convexa cerrada en L ¹ ( G ) de la izquierda se traduce λ( g ) f igual a |∫ f |.
Condición de Følner . Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G existe un subconjunto medible U de G con medida de Haar positiva finita tal que m ( U Δ gU )/m( U ) es arbitrariamente pequeño para g en F .
Condición de la leptina. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G existe un subconjunto medible U de G con medida de Haar positiva finita tal que m ( FU Δ U )/m( U ) es arbitrariamente pequeño.
Condición de Kesten . La convolución izquierda en L ² ( G ) mediante una medida de probabilidad simétrica en G da un operador con norma de operador 1.
Condición cohomológica de Johnson. El álgebra de Banach A = L ¹ ( G ) es susceptible de ser considerada como un álgebra de Banach , es decir, cualquier derivación acotada de A en el dual de un A -bimódulo de Banach es interna.

Caso de grupos discretos

La definición de amenabilidad es más sencilla en el caso de un grupo discreto , ^[4] es decir, un grupo dotado de la topología discreta. ^[5]

Definición. Un grupo discreto G es susceptible si existe una medida finitamente aditiva (también llamada media), una función que asigna a cada subconjunto de G un número de 0 a 1, tal que

La medida es una medida de probabilidad : la medida de todo el grupo G es 1.
La medida es finitamente aditiva : dados un número finito de subconjuntos disjuntos de G , la medida de la unión de los conjuntos es la suma de las medidas.
La medida es invariante a la izquierda : dado un subconjunto A y un elemento g de G , la medida de A es igual a la medida de gA . ( gA denota el conjunto de elementos ga para cada elemento a en A. Es decir, cada elemento de A se traslada a la izquierda por g ).

Esta definición se puede resumir así: G es dócil si tiene una medida de probabilidad invariante por la izquierda y finitamente aditiva. Dado un subconjunto A de G , se puede pensar que la medida responde a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que un elemento aleatorio de G esté en A ?

Es un hecho que esta definición es equivalente a la definición en términos de L ^∞ ( G ).

Tener una medida μ en G nos permite definir la integración de funciones acotadas en G . Dada una función acotada f : G → R , la integral

\int _{G}f\,d\mu

se define como en la integración de Lebesgue . (Tenga en cuenta que algunas de las propiedades de la integral de Lebesgue fallan aquí, ya que nuestra medida es solo finitamente aditiva).

Si un grupo tiene una medida invariante a la izquierda, automáticamente tiene una medida biinvariante. Dada una medida invariante a la izquierda μ , la función μ ⁻ ( A ) = μ ( A ⁻¹ ) es una medida invariante a la derecha. Al combinar estas dos, se obtiene una medida biinvariante:

\nu(A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.

Las condiciones equivalentes de amenabilidad también se vuelven más simples en el caso de un grupo discreto numerable Γ. Para un grupo de este tipo, las siguientes condiciones son equivalentes: ^[2]

Γ es dócil.
Si Γ actúa por isometrías en un espacio de Banach (separable) E , dejando invariante un subconjunto convexo débilmente cerrado C de la bola unitaria cerrada de E * , entonces Γ tiene un punto fijo en C .
Hay una función funcional continua de norma invariante por la izquierda μ en ℓ ^∞ (Γ) con μ (1) = 1 (esto requiere el axioma de elección ).
Hay un estado invariante por la izquierda μ en cualquier subálgebra C* unital separable invariante por la izquierda de ℓ ^∞ (Γ).
Hay un conjunto de medidas de probabilidad μ _n en Γ tales que || g · μ _n − μ _n || ₁ tiende a 0 para cada g en Γ (MM Día).
Hay vectores unitarios x _n en ℓ ² (Γ) tales que || g · x _n − x _n || ₂ tiende a 0 para cada g en Γ (J. Dixmier).
Hay subconjuntos finitos S _n de Γ tales que | g · S _n Δ S _n | / | S _n | tiende a 0 para cada g en Γ (Følner).
Si μ es una medida de probabilidad simétrica en Γ con soporte que genera Γ, entonces la convolución por μ define un operador de norma 1 en ℓ ² (Γ) (Kesten).
Si Γ actúa por isometrías en un espacio de Banach (separable) E y f en ℓ ^∞ (Γ, E *) es un 1-cociclo acotado, es decir, f ( gh ) = f ( g ) + g · f ( h ), entonces f es un 1-colímite, es decir, f ( g ) = g ·φ − φ para algún φ en E * (BE Johnson).
El grupo reducido C*-álgebra (ver el grupo reducido C*-álgebra C _r * ( G ) ) es nuclear .
El grupo reducido C*-álgebra es cuasidigonal (J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter).
El álgebra de grupos de von Neumann (ver álgebras de von Neumann asociadas a grupos ) de Γ es hiperfinita (A. Connes).

Nótese que A. Connes también demostró que el álgebra de grupos de von Neumann de cualquier grupo localmente compacto conexo es hiperfinito , por lo que la última condición ya no se aplica en el caso de grupos conexos.

La amenabilidad está relacionada con la teoría espectral de ciertos operadores. Por ejemplo, el grupo fundamental de una variedad riemanniana cerrada es amenable si y solo si el extremo inferior del espectro del laplaciano en el espacio L2 de la cubierta universal de la variedad es 0. ^[6]

Propiedades

Todo subgrupo (cerrado) de un grupo susceptible es susceptible.
Todo cociente de un grupo susceptible es susceptible.
Una extensión de un grupo susceptible de adaptación por un grupo susceptible de adaptación es susceptible de adaptación. En particular, los productos directos finitos de grupos susceptibles de adaptación son susceptibles de adaptación, aunque los productos infinitos no necesariamente lo sean.
Los límites directos de grupos dóciles son dóciles. En particular, si un grupo puede escribirse como una unión dirigida de subgrupos dóciles, entonces es dócil.
Los grupos susceptibles son unitarizables ; lo inverso es un problema abierto.
Los grupos discretos contables obedecen al teorema de isomorfismo de Ornstein . ^[7]^[8]

Ejemplos

Los grupos finitos son dóciles. Utilice la medida de conteo con la definición discreta. En términos más generales, los grupos compactos son dóciles. La medida de Haar es una media invariante (única que toma la medida total como 1).
El grupo de los números enteros es dócil (una secuencia de intervalos de longitud que tiende al infinito es una secuencia de Følner). La existencia de una medida de probabilidad invariante al desplazamiento y finitamente aditiva en el grupo Z también se sigue fácilmente del teorema de Hahn-Banach de esta manera. Sea S el operador de desplazamiento en el espacio de secuencias ℓ ^∞ ( Z ), que se define por ( Sx ) _i = x _{i +1} para todo x ∈ ℓ ^∞ ( Z ), y sea u ∈ ℓ ^∞ ( Z ) la secuencia constante u _i = 1 para todo i ∈ Z . Cualquier elemento y ∈ Y :=range( S − I ) tiene una distancia mayor o igual a 1 desde u (de lo contrario y _i = x _i+1 - x _i sería positivo y estaría acotado desde cero, por lo que x _i no podría estar acotado). Esto implica que existe una forma lineal de norma uno bien definida en el subespacio R u + Y que toma tu + y hasta t . Por el teorema de Hahn-Banach, este último admite una extensión lineal de norma uno en ℓ ^∞ ( Z ), que es por construcción una medida de probabilidad finitamente aditiva e invariante al desplazamiento en Z .
Si cada clase de conjugación en un grupo localmente compacto tiene clausura compacta, entonces el grupo es dócil. Ejemplos de grupos con esta propiedad incluyen grupos compactos, grupos abelianos localmente compactos y grupos discretos con clases de conjugación finitas . ^[9]
Por la propiedad de límite directo mencionada anteriormente, un grupo es dócil si todos sus subgrupos finitamente generados lo son. Es decir, los grupos dóciles localmente son dóciles.
- Por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , se deduce que los grupos abelianos son susceptibles.
De la propiedad de extensión anterior se desprende que un grupo es dócil si tiene un subgrupo dócil de índice finito . Es decir, los grupos virtualmente dóciles son dóciles.
Además, se deduce que todos los grupos resolubles son susceptibles.

Todos los ejemplos anteriores son de crecimiento elemental . La primera clase de ejemplos que se muestran a continuación se puede utilizar para mostrar ejemplos de crecimiento no elemental gracias a la existencia de grupos de crecimiento intermedio .

Se pueden generar grupos finitos de crecimiento subexponencial . Una subsecuencia adecuada de bolas proporcionará una secuencia de Følner. ^[10]
Los grupos simples infinitos finitamente generados no se pueden obtener mediante construcciones bootstrap como las que se usan para construir grupos amenables elementales. Dado que existen grupos simples que son amenables, debido a Juschenko y Monod ^[11] , esto proporciona nuevamente ejemplos amenables no elementales.

Ejemplos no válidos

Si un grupo discreto contable contiene un subgrupo libre (no abeliano) en dos generadores, entonces no es dócil. La contraria a esta afirmación es la llamada conjetura de von Neumann , que fue refutada por Olshanskii en 1980 utilizando sus monstruos de Tarski . Adyan posteriormente demostró que los grupos libres de Burnside no son dóciles: dado que son periódicos , no pueden contener al grupo libre en dos generadores. Estos grupos se generan finitamente, pero no se presentan finitamente. Sin embargo, en 2002 Sapir y Olshanskii encontraron contraejemplos finitamente presentados : grupos finitamente presentados no dóciles que tienen un subgrupo normal periódico con cociente de los números enteros. ^[12]

Sin embargo, para grupos lineales finitamente generados , la conjetura de von Neumann es verdadera por la alternativa de Tits : ^[13] cada subgrupo de GL ( n , k ) con k un cuerpo tiene un subgrupo resoluble normal de índice finito (y por lo tanto es susceptible) o contiene el grupo libre en dos generadores. Aunque la prueba de Tits usó geometría algebraica , Guivarc'h encontró más tarde una prueba analítica basada en el teorema ergódico multiplicativo de V. Oseledets . ^[14] Se han demostrado análogos de la alternativa de Tits para muchas otras clases de grupos, como los grupos fundamentales de complejos simpliciales bidimensionales de curvatura no positiva . ^[15]

Véase también

Notas

^ El primer uso publicado de la palabra por parte de Day aparece en su resumen para una reunión de verano de la AMS en 1949. ^[1] Muchos libros de texto sobre amabilidad, como el de Volker Runde, sugieren que Day eligió la palabra como un juego de palabras.

Citas

^ Día 1949, págs. 1054–1055.
^ desde Pier 1984.
^ Valette 1998.
^
Ver:
- Hoja verde 1969
- Muelle 1984
- Takesaki 2001
- Takesaki 2002
^ Weisstein, Eric W. "Grupo discreto". MathWorld .
^ Brooks 1981, págs. 581–598.
^ Ornstein y Weiss 1987, págs. 1–141.
^ Bowen 2012.
^ Leptina 1968.
^
Ver:
- Hoja verde 1969
- Muelle 1984
- Takesaki 2001
- Takesaki 2002
^ Juschenko y Monod 2013, págs. 775–787.
^ Olshanskii y Sapir 2002, págs. 43-169.
^ Tetas 1972, págs. 250–270.
^ Guivarc'h 1990, págs. 483–512.
^ Ballmann y Brin 1995, págs. 169-209.

Fuentes

Este artículo incorpora material del grupo Amenable en PlanetMath , que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual .

Ballmann, Werner; Brin, Michael (1995), "Orbihedra of nonpositive curvature", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 82 : 169–209, CiteSeerX 10.1.1.30.8282 , doi : 10.1007/BF02698640
Bowen, Lewis (2012). "Todo grupo infinito numerable es casi Ornstein". Sistemas dinámicos y acciones grupales . Matemáticas contemporáneas. Vol. 567. págs. 67–78. arXiv : 1103.4424 . doi :10.1090/conm/567.
Brooks, Robert (1981). "El grupo fundamental y el espectro del laplaciano". Comentario. Math. Helv. 56 : 581–598. doi :10.1007/bf02566228.
Day, MM (1949). "Medias en semigrupos y grupos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (11): 1054–1055.
Dixmier, Jacques (1977), C*-álgebras (traducido del francés por Francis Jellett) , Biblioteca matemática de Holanda Septentrional, vol. 15, Holanda Septentrional
Greenleaf, FP (1969), Medias invariantes en grupos topológicos y sus aplicaciones , Van Nostrand Reinhold
Guivarc'h, Yves (1990), "Produits de matrices aléatoires et apps aux propriétés géometriques des sous-groupes du groupes linéaire", Teoría ergódica y sistemas dinámicos (en francés), 10 (3): 483–512, doi : 10.1017 /S0143385700005708
Juschenko, Kate; Monod, Nicolas (2013), "Sistemas de Cantor, traducciones por partes y grupos amables simples", Annals of Mathematics , 178 (2): 775–787, arXiv : 1204.2132 , doi :10.4007/annals.2013.178.2.7
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Valette, Alain (1998), "Sobre la caracterización de la amenabilidad según Godement" (PDF) , Bull. Austral. Math. Soc. , 57 : 153–158, doi : 10.1017/s0004972700031506

Enlaces externos

Algunas notas sobre la amabilidad por Terry Tao
Garrido, Alejandra. Una introducción a los grupos sociables