La combinatoria algebraica es un área de las matemáticas que emplea métodos del álgebra abstracta , en particular la teoría de grupos y la teoría de la representación , en diversos contextos combinatorios y, a la inversa, aplica técnicas combinatorias a problemas de álgebra .
El término "combinatoria algebraica" se introdujo a finales de los años 1970. [1] A principios o mediados de los años 1990, los objetos combinatorios típicos de interés en la combinatoria algebraica admitían muchas simetrías ( esquemas de asociación , gráficos fuertemente regulares , conjuntos parciales con una acción de grupo ) o poseían una estructura algebraica rica, frecuentemente de origen teórico de la representación ( funciones simétricas , tablas de Young ). Este período se refleja en el área 05E, Combinatoria algebraica , de la Clasificación de materias de matemáticas de la AMS , introducida en 1991.
La combinatoria algebraica ha llegado a ser vista de manera más expansiva como un área de las matemáticas donde la interacción de los métodos combinatorios y algebraicos es particularmente fuerte y significativa. Por lo tanto, los temas combinatorios pueden ser de naturaleza enumerativa o involucrar matroides , politopos , conjuntos parcialmente ordenados o geometrías finitas . En el lado algebraico, además de la teoría de grupos y la teoría de la representación, se utilizan comúnmente la teoría de retículos y el álgebra conmutativa .
El anillo de funciones simétricas es un límite específico de los anillos de polinomios simétricos en n indeterminados, cuando n tiende a infinito. Este anillo sirve como estructura universal en la que las relaciones entre polinomios simétricos pueden expresarse de forma independiente del número n de indeterminados (pero sus elementos no son ni polinomios ni funciones). Entre otras cosas, este anillo juega un papel importante en la teoría de la representación de los grupos simétricos .
Un esquema de asociación es una colección de relaciones binarias que satisfacen ciertas condiciones de compatibilidad. Los esquemas de asociación proporcionan un enfoque unificado para muchos temas, por ejemplo, diseños combinatorios y teoría de codificación . [2] [3] En álgebra, los esquemas de asociación generalizan grupos , y la teoría de esquemas de asociación generaliza la teoría de caracteres de representaciones lineales de grupos. [4] [5] [6]
Un grafo fuertemente regular se define de la siguiente manera. Sea G = ( V , E ) un grafo regular con v vértices y grado k . Se dice que G es fuertemente regular si existen también números enteros λ y μ tales que:
A veces se dice que un gráfico de este tipo es un srg( v , k , λ, μ).
Algunos autores excluyen los grafos que satisfacen la definición de manera trivial, es decir, aquellos grafos que son la unión disjunta de uno o más grafos completos de igual tamaño , [7] [8] y sus complementos , los grafos de Turán .
Una tabla de Young (pl.: tableaux ) es un objeto combinatorio útil en la teoría de la representación y el cálculo de Schubert . Proporciona una forma conveniente de describir las representaciones grupales de los grupos lineales simétricos y generales y de estudiar sus propiedades. Las tablas de Young fueron introducidas por Alfred Young , un matemático de la Universidad de Cambridge , en 1900. Luego fueron aplicadas al estudio del grupo simétrico por Georg Frobenius en 1903. Su teoría fue desarrollada posteriormente por muchos matemáticos, entre ellos Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B. Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .
Un matroide es una estructura que captura y generaliza la noción de independencia lineal en espacios vectoriales . Existen muchas formas equivalentes de definir un matroide, siendo las más significativas las que se definen en términos de conjuntos independientes, bases, circuitos, conjuntos cerrados o planos, operadores de clausura y funciones de rango.
La teoría de matroides toma prestados muchos elementos de la terminología del álgebra lineal y la teoría de grafos , en gran medida porque es la abstracción de varias nociones de importancia central en estos campos. Los matroides han encontrado aplicaciones en geometría, topología , optimización combinatoria , teoría de redes y teoría de codificación . [9] [10]
Una geometría finita es cualquier sistema geométrico que tiene solo un número finito de puntos . La geometría euclidiana familiar no es finita, porque una línea euclidiana contiene infinitos puntos. Una geometría basada en los gráficos que se muestran en una pantalla de computadora, donde los píxeles se consideran los puntos, sería una geometría finita. Si bien hay muchos sistemas que podrían llamarse geometrías finitas, se presta mayor atención a los espacios proyectivos y afines finitos debido a su regularidad y simplicidad. Otros tipos significativos de geometría finita son los planos finitos de Möbius o inversos y los planos de Laguerre , que son ejemplos de un tipo general llamado planos de Benz , y sus análogos de dimensiones superiores, como las geometrías inversoras finitas superiores .
Las geometrías finitas pueden construirse mediante álgebra lineal , a partir de espacios vectoriales sobre un cuerpo finito ; los planos afines y proyectivos así construidos se denominan geometrías de Galois . Las geometrías finitas también pueden definirse de forma puramente axiomática. Las geometrías finitas más comunes son las geometrías de Galois, ya que cualquier espacio proyectivo finito de dimensión tres o mayor es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un cuerpo finito (es decir, la proyectivización de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito). Sin embargo, la dimensión dos tiene planos afines y proyectivos que no son isomorfos a las geometrías de Galois, es decir, los planos no desarguesianos . Se obtienen resultados similares para otros tipos de geometrías finitas.
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