Rombo

Cuadrilátero en el que todos los lados tienen la misma longitud

El rombo tiene un cuadrado como caso especial, y es un caso especial de cometa y paralelogramo .

En geometría euclidiana plana , un rombo ( pl.: rombos o rombos ) es un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen todos la misma longitud. Otro nombre es cuadrilátero equilátero , ya que equilátero significa que todos sus lados tienen la misma longitud. El rombo a menudo se llama " diamante ", en honor al palo de diamantes de los naipes que se asemeja a la proyección de un diamante octaédrico , o un rombo , aunque el primero a veces se refiere específicamente a un rombo con un ángulo de 60° (que algunos autores llaman un calisson, del dulce francés ^[1] (véase también Polyiamond ), y este último a veces se refiere específicamente a un rombo con un ángulo de 45°.

Cada rombo es simple (no se interseca a sí mismo) y es un caso especial de un paralelogramo y una cometa . Un rombo con ángulos rectos es un cuadrado . ^[2]

Etimología

La palabra "rombo" proviene del griego antiguo : ῥόμβος , romanizado :  rhombos , que significa algo que gira, ^[3] que deriva del verbo ῥέμβω , romanizado: rhémbō , que significa "dar vueltas y vueltas". ^[4] La palabra fue utilizada tanto por Euclides como por Arquímedes , quienes utilizaron el término "rombo sólido" para un bicono , dos conos circulares rectos que comparten una base común. ^[5]

La superficie a la que hoy nos referimos como rombo es una sección transversal del bicono en un plano que pasa por los vértices de los dos conos.

Caracterizaciones

Un cuadrilátero simple (que no se intersecta a sí mismo ) es un rombo si y sólo si es cualquiera de los siguientes: ^{[6] [7]}

• un paralelogramo en el que una diagonal biseca un ángulo interior
• un paralelogramo en el que al menos dos lados consecutivos tienen la misma longitud
• un paralelogramo en el que las diagonales son perpendiculares (un paralelogramo ortodiagonal )
• un cuadrilátero con cuatro lados de igual longitud (por definición)
• un cuadrilátero en el que las diagonales son perpendiculares y se bisecan entre sí
• un cuadrilátero en el que cada diagonal biseca dos ángulos interiores opuestos
• un cuadrilátero ABCD que posee un punto P en su plano tal que los cuatro triángulos ABP , BCP , CDP y DAP son todos congruentes ^[8]
• un cuadrilátero ABCD en el que los círculos incisos de los triángulos ABC , BCD , CDA y DAB tienen un punto común ^[9]

Propiedades básicas

Cada rombo tiene dos diagonales que conectan pares de vértices opuestos y dos pares de lados paralelos. Usando triángulos congruentes , se puede demostrar que el rombo es simétrico en cada una de estas diagonales. De ello se deduce que cualquier rombo tiene las siguientes propiedades:

• Los ángulos opuestos de un rombo tienen la misma medida.
• Las dos diagonales de un rombo son perpendiculares ; es decir, un rombo es un cuadrilátero ortodiagonal .
• Sus diagonales bisecan ángulos opuestos.

La primera propiedad implica que todo rombo es un paralelogramo . Por tanto, un rombo tiene todas las propiedades de un paralelogramo : por ejemplo, los lados opuestos son paralelos; los ángulos adyacentes son suplementarios ; las dos diagonales se bisecan ; cualquier línea que pase por el punto medio biseca el área; y la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (la ley del paralelogramo ). Denotando así el lado común como a y las diagonales como p y q , en cada rombo

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

No todo paralelogramo es un rombo, aunque cualquier paralelogramo con diagonales perpendiculares (la segunda propiedad) es un rombo. Por lo general, cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares, una de las cuales sea un eje de simetría, es una cometa . Todo rombo es una cometa, y cualquier cuadrilátero que sea a la vez cometa y paralelogramo es un rombo.

Un rombo es un cuadrilátero tangencial . ^[10] Es decir, tiene un círculo inscrito que es tangente a sus cuatro lados.

Un rombo. Cada ángulo marcado con un punto negro es un ángulo recto. La altura h es la distancia perpendicular entre dos lados cualesquiera no adyacentes, que es igual al diámetro del círculo inscrito. Las diagonales de longitudes p y q son los segmentos de línea de puntos rojos.

Diagonales

La longitud de las diagonales p = AC y q = BD se puede expresar en términos del lado del rombo a y un ángulo del vértice α como

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

y

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

Estas fórmulas son consecuencia directa de la ley de los cosenos .

radio

El inradio (el radio de un círculo inscrito en el rombo), denotado por r , se puede expresar en términos de las diagonales p y q como ^[10]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

o en términos de la longitud del lado a y cualquier ángulo del vértice α o β como

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

Área

Como ocurre con todos los paralelogramos , el área K de un rombo es el producto de su base por su altura ( h ). La base es simplemente cualquier longitud de lado a :

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

El área también se puede expresar como la base al cuadrado por el seno de cualquier ángulo:

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

o en términos de la altura y el ángulo del vértice :

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

o como la mitad del producto de las diagonales p , q :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

o como el semiperímetro multiplicado por el radio del círculo inscrito en el rombo (inradius):

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

Otra forma, en común con los paralelogramos, es considerar dos lados adyacentes como vectores, formando un bivector , por lo que el área es la magnitud del bivector (la magnitud del producto vectorial de los dos vectores), que es el determinante de los dos. Coordenadas cartesianas de los vectores: K = x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁ . ^[11]

Propiedades duales

El polígono dual de un rombo es un rectángulo : ^[12]

• Un rombo tiene todos los lados iguales, mientras que un rectángulo tiene todos los ángulos iguales.
• Un rombo tiene ángulos opuestos iguales, mientras que un rectángulo tiene lados opuestos iguales.
• Un rombo tiene una circunferencia inscrita, mientras que un rectángulo tiene una circunferencia circunscrita .
• Un rombo tiene un eje de simetría que pasa por cada par de ángulos de vértice opuestos, mientras que un rectángulo tiene un eje de simetría que pasa por cada par de lados opuestos.
• Las diagonales de un rombo se cortan en ángulos iguales, mientras que las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud.
• La figura que se forma al unir los puntos medios de los lados de un rombo es un rectángulo , y viceversa.

ecuación cartesiana

Los lados de un rombo centrado en el origen, con diagonales cada una sobre un eje, constan de todos los puntos ( x, y ) que satisfacen

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

Los vértices están en y Este es un caso especial de la superelipse , con exponente 1. ${\displaystyle (\pm a,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm b).}$

Otras propiedades

• Uno de los cinco tipos de celosía 2D es la celosía rómbica, también llamada celosía rectangular centrada .
• Los rombos idénticos pueden mosaico el plano 2D de tres maneras diferentes, incluido, para el rombo de 60°, el mosaico de rombos .

• Los análogos tridimensionales de un rombo incluyen la bipirámide y el bicono como superficie de revolución .

Como las caras de un poliedro

Los poliedros convexos con rombos incluyen el conjunto infinito de zonoedros rómbicos , que pueden verse como envolturas proyectivas de hipercubos .

• Un romboedro (también llamado hexaedro rómbico) es una figura tridimensional parecida a un cuboide (también llamado paralelepípedo rectangular), excepto que sus 3 pares de caras paralelas son hasta 3 tipos de rombos en lugar de rectángulos.
• El dodecaedro rómbico es un poliedro convexo que tiene como caras 12 rombos congruentes .
• El triacontaedro rómbico es un poliedro convexo con 30 rombos áureos (rombos cuyas diagonales están en la proporción áurea ) como caras.
• El gran triacontaedro rómbico es un poliedro isoédrico isotoxal no convexo con 30 caras rómbicas que se cruzan.
• El hexecontaedro rómbico es una estelación del triacontaedro rómbico. Es no convexo con 60 caras rómbicas doradas con simetría icosaédrica .
• El eneacontaedro rómbico es un poliedro compuesto por 90 caras rómbicas, con tres, cinco o seis rombos reunidos en cada vértice. Tiene 60 rombos anchos y 30 delgados.
• El icosaedro rómbico es un poliedro compuesto por 20 caras rómbicas, de las cuales tres, cuatro o cinco se encuentran en cada vértice. Tiene 10 caras en el eje polar y 10 caras siguiendo el ecuador.

Ver también

• Merkel-Raute
• Rombo de Michaelis , en anatomía humana
• Romboide , ya sea un paralelepípedo o un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo
• antena rómbica
• Ajedrez Rómbico
• Bandera del Departamento de Norte de Santander de Colombia, que contiene cuatro estrellas en forma de rombo
• Superelipse (incluye un rombo con esquinas redondeadas)

Referencias

1. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (31 de diciembre de 2015). Una odisea matemática en el espacio: geometría sólida en el siglo XXI. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9781614442165.
2. Nota: La definición original de Euclides y la definición de rombo de algunos diccionarios ingleses excluyen los cuadrados, pero los matemáticos modernos prefieren la definición inclusiva. Véase, por ejemplo, De Villiers, Michael (febrero de 1994). "El papel y función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros". Para el Aprendizaje de las Matemáticas . 14 (1): 11-18. JSTOR  40248098.
3. ῥόμβος Archivado el 8 de noviembre de 2013 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
4. ρέμβω Archivado el 8 de noviembre de 2013 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
5. "El origen del rombo". Archivado desde el original el 2 de abril de 2015 . Consultado el 25 de enero de 2005 .
6. Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de cuadriláteros. Un estudio de definición Archivado el 26 de febrero de 2020 en la Wayback Machine ", Information Age Publishing, 2008, págs.
7. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer , Métodos de geometría euclidiana Archivado el 1 de septiembre de 2019 en Wayback Machine , Asociación Matemática de América, 2010, p. 53.
8. Paris Pamfilos (2016), "Una caracterización del rombo", Forum Geometriorum 16 , págs. 331–336, [1] Archivado el 23 de octubre de 2016 en la Wayback Machine .
9. "IMOmath", 26ª Olimpiada Brasileña de Matemáticas 2004"" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de octubre de 2016 . Consultado el 6 de enero de 2020 .
10. Weisstein, Eric W. "Rombo". MundoMatemático .
11. WildLinAlg episodio 4 Archivado el 5 de febrero de 2017 en Wayback Machine , Norman J Wildberger, Univ. de Nueva Gales del Sur, 2010, conferencia vía youtube
12. de Villiers, Michael, "Polígonos circunscritos equiangulares cíclicos y equiláteros", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, 102-107.

enlaces externos

• Paralelogramo y Rombo - Curso animado (Construcción, Circunferencia, Área)
• Definición de rombo, referencia abierta de matemáticas con subprograma interactivo.
• Área de rombo, referencia abierta de matemáticas: muestra tres formas diferentes de calcular el área de un rombo, con un subprograma interactivo