par gelfand

En matemáticas , un par de Gelfand es un par ( G , K ) que consta de un grupo G y un subgrupo K (llamado subgrupo de Euler de G ) que satisface una determinada propiedad en representaciones restringidas . La teoría de los pares de Gelfand está estrechamente relacionada con el tema de las funciones esféricas en la teoría clásica de funciones especiales , y con la teoría de los espacios simétricos de Riemann en la geometría diferencial . En términos generales, la teoría existe para abstraer de estas teorías su contenido en términos de análisis armónico y teoría de la representación .

Cuando G es un grupo finito , la definición más simple es, en términos generales, que las clases laterales dobles ( K , K ) en G conmutan. Más precisamente, el álgebra de Hecke , el álgebra de funciones en G que son invariantes bajo traducción en ambos lados por K , debería ser conmutativa para la convolución en G.

En general, la definición del par de Gelfand es aproximadamente que la restricción a K de cualquier representación irreducible de G contiene la representación trivial de K con multiplicidad no mayor que 1. En cada caso, se debe especificar la clase de representaciones consideradas y el significado de "contiene".

Definiciones

En cada área, la clase de representaciones y la definición de contención de las representaciones es ligeramente diferente. Aquí se dan definiciones explícitas de varios de estos casos.

Caso de grupo finito

Cuando G es un grupo finito, lo siguiente es equivalente:

( G , K ) es un par de Gelfand.
El álgebra de ( K , K ) -funciones dobles invariantes en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
Para cualquier representación irreducible $π$ de G , el espacio $π$ ^K de K - vectores invariantes en $π$ no es más que unidimensional.
Para cualquier representación irreducible $π$ de G , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1, donde C denota la representación trivial .
La representación de permutación de G en las clases laterales de K no tiene multiplicidad; es decir, se descompone en una suma directa de representaciones distintas absolutamente irreducibles en característica cero.
El álgebra centralizadora ( álgebra de Schur ) de la representación de permutación es conmutativa.
( G / N , K / N ) es un par de Gelfand, donde N es un subgrupo normal de G contenido en K .

Maleta de grupo compacta

Cuando G es un grupo topológico compacto , lo siguiente es equivalente:

( G , K ) es un par de Gelfand.
El álgebra de ( K , K ) -medidas continuas con soporte compacto de doble invariante en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
Para cualquier representación continua , localmente convexa e irreducible $π$ de G , el espacio $π$ ^K de K - vectores invariantes en $π$ no es más que unidimensional.
Para cualquier representación continua, localmente convexa e irreducible $π$ de G , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1.
La representación L ² ( G / K ) de G está libre de multiplicidad; es decir, es una suma directa de distintas representaciones unitarias irreducibles.

Grupo de mentiras con subgrupo compacto.

Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo compacto , lo siguiente es equivalente:

( G , K ) es un par de Gelfand.
El álgebra de ( K , K ) -medidas continuas con soporte compacto de doble invariante en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
El álgebra D ( G / K ) ^K de K operadores diferenciales invariantes en G / K es conmutativa.
Para cualquier representación continua , localmente convexa e irreducible $π$ de G , el espacio $π$ ^K de K - vectores invariantes en $π$ no es más que unidimensional.
Para cualquier representación continua, localmente convexa e irreducible $π$ de G , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1.
La representación L ² ( G / K ) de G está libre de multiplicidad; es decir, es una integral directa de distintas representaciones unitarias irreducibles.

Para obtener una clasificación de dichos pares de Gelfand, consulte ^[1] .

Ejemplos clásicos de tales pares de Gelfand son ( G , K ), donde G es un grupo de Lie reductivo y K es un subgrupo compacto máximo .

Grupo topológico localmente compacto con subgrupo compacto

Cuando G es un grupo topológico localmente compacto y K es un subgrupo compacto, lo siguiente es equivalente:

( G , K ) es un par de Gelfand.
El álgebra de ( K , K ) -medidas continuas con soporte compacto de doble invariante en G con multiplicación definida por convolución es conmutativa.
Para cualquier representación irreducible localmente convexa continua $π$ de G , el espacio $π$ ^K de K - vectores invariantes en $π$ no es más que unidimensional.
Para cualquier representación continua, localmente convexa e irreducible $π$ de G , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1.
La representación L ² ( G / K ) de G está libre de multiplicidad; es decir, es una integral directa de distintas representaciones unitarias irreducibles.

En ese contexto, G tiene una descomposición de Iwasawa - Monod , es decir, G = KP para algún subgrupo P de G susceptible . ^[2] Este es el análogo abstracto de la descomposición de Iwasawa de grupos de Lie semisimples .

Grupo de mentiras con subgrupo cerrado.

Cuando G es un grupo de Lie y K es un subgrupo cerrado , el par ( G , K ) se llama par de Gelfand generalizado si para cualquier representación unitaria irreducible $π$ de G en un espacio de Hilbert , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1, donde $π$ ^∞ denota la subrepresentación de vectores suaves .

Grupo reductivo sobre un campo local con subgrupo cerrado.

Cuando G es un grupo reductor sobre un campo local y K es un subgrupo cerrado, existen tres nociones (posiblemente no equivalentes) del par de Gelfand que aparecen en la literatura:

( GP1 ) Para cualquier representación admisible irreducible $π$ de G , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1.
( GP2 ) Para cualquier representación admisible irreducible $π$ de G , tenemos , donde denota el dual suave . ${\textstyle \dim \operatorname {Hom} _{K}(\pi ,\mathbf {C} )\cdot \dim \operatorname {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf { C} )\leq 1}$ ${\tilde {\pi }}$
( GP3 ) Para cualquier representación unitaria irreducible $π$ de G en un espacio de Hilbert , la dimensión de Hom _K ( $π$ , C ) es menor o igual a 1.

Aquí, representación admisible es la noción habitual de representación admisible cuando el campo local no es de Arquímedes . Cuando el campo local es Arquímedes, la representación admisible significa una representación suave de Fréchet de crecimiento moderado, de modo que el módulo Harish-Chandra correspondiente sea admisible .

Si el campo local es de Arquímedes, entonces GP3 es igual a la propiedad de Gelfand generalizada definida en el caso anterior.

Claramente, GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3 .

Fuertes parejas Gelfand

Un par ( G , K ) se llama par de Gelfand fuerte si el par ( G × K , Δ K ) es un par de Gelfand, donde Δ K ≤ G × K es el subgrupo diagonal: . A veces, esta propiedad también se denomina propiedad de la multiplicidad uno . ${\textstyle \{(k,k)\in G\times K:k\in K\}}$

Cada uno de los casos anteriores se puede adaptar a pares Gelfand fuertes. Por ejemplo, sea G un grupo finito. Entonces los siguientes son equivalentes:

( G , K ) es un par Gelfand fuerte.
El álgebra de funciones sobre G invariante con respecto a la conjugación por K (con multiplicación definida por convolución) es conmutativa.
Para cualquier representación irreducible $π$ de G y τ de K , el espacio Hom _K ( τ , $π$ ) no es más que unidimensional.
Para cualquier representación irreducible $π$ de G y τ de K , el espacio Hom _K ( $π$ , τ ) no es más que unidimensional.

Criterios para la propiedad Gelfand

Grupo topológico localmente compacto con subgrupo compacto

En este caso, existe un criterio clásico debido a Gelfand para que el par ( G , K ) sea Gelfand: supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier doble clase lateral ( K , K ) es σ -invariante . Entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand.

Este criterio es equivalente al siguiente: Supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier función en G que sea invariante con respecto a las traslaciones derecha e izquierda de K es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand.

Grupo reductivo sobre un campo local con subgrupo cerrado.

En este caso, existe un criterio debido a Gelfand y Kazhdan para que la pareja ( G , K ) satisfaga GP2 . Supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier distribución ( K , K )-doble invariante en G es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) satisface GP2 (ver ^[3]^[4]^[5] ).

Si la afirmación anterior es válida sólo para distribuciones definidas positivas , entonces el par satisface GP3 (consulte el siguiente caso).

La propiedad GP1 a menudo se deriva de GP2 . Por ejemplo, esto es válido si existe un antiautomorfismo involutivo de G que preserva K y preserva cada clase de conjugación cerrada. Para G = GL( n ), la transposición puede servir como tal involución.

Grupo de mentiras con subgrupo cerrado.

En este caso, existe el siguiente criterio para que el par ( G , K ) sea un par de Gelfand generalizado. Supongamos que existe un antiautomorfismo involutivo σ de G tal que cualquier distribución definida positiva invariante K × K en G es σ -invariante. Entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand generalizado (ver ^[6] ).

Criterios para una propiedad fuerte de Gelfand

Todos los criterios anteriores se pueden convertir en criterios para pares de Gelfand fuertes reemplazando la acción bilateral de K × K por la acción de conjugación de K.

Pares de Gelfand trenzados

Un par ( G , K ) se llama par trenzado de Gelfand con respecto al carácter χ del grupo K , si la propiedad de Gelfand se cumple cuando la representación trivial se reemplaza con el carácter χ. Por ejemplo, en el caso de que K sea compacto, significa que la dimensión de Hom _K ( $π$ , χ) es menor o igual a 1. El criterio para pares de Gelfand se puede adaptar al caso de pares de Gelfand trenzados. ^{[ cita necesaria ]}

pares simétricos

La propiedad de Gelfand suele satisfacerse mediante pares simétricos . Un par ( G , K ) se llama par simétrico si existe un automorfismo involutivo θ de G tal que K es una unión de componentes conectados del grupo de θ -elementos invariantes: G ^θ .

Si G es un grupo reductor conectado sobre R y K = G ^θ es un subgrupo compacto, entonces ( G , K ) es un par de Gelfand. Ejemplo: G = GL( n , R ) y K = O( n , R ), el subgrupo de matrices ortogonales .

En general, es interesante saber cuándo un par simétrico de un grupo reductor sobre un campo local tiene la propiedad de Gelfand. Para investigaciones de pares simétricos de rango uno, consulte ^[7]^[8] .

Un ejemplo de par simétrico Gelfand de alto rango es . Esto se demostró en ^[9] sobre campos locales no de Arquímedes y posteriormente en ^[10] para todos los campos locales de característica cero. ${\textstyle ({\text{GL}}(n+k),{\text{GL}}(n)\times {\text{L}}(k))}$

Para obtener más detalles sobre esta pregunta para pares simétricos de alto rango, consulte ^[11] .

pares esféricos

En el contexto de los grupos algebraicos , los análogos de los pares de Gelfand se denominan pares esféricos . Es decir, un par ( G , K ) de grupos algebraicos se denomina par esférico si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

Existe una clase lateral doble abierta ( B , K ) en G , donde B es el subgrupo Borel de G .
Hay un número finito de ( B , K ) -doble clase lateral en G .
Para cualquier representación algebraica $π$ de G , tenemos . ${\text{dim}}\ \pi ^{K}\leq 1$

En este caso, el espacio G / H se denomina espacio esférico .

Se conjetura que cualquier par esférico ( G , K ) sobre un campo local satisface la siguiente versión débil de la propiedad de Gelfand: Para cualquier representación admisible $π$ de G , el espacio Hom _K ( $π$ , C ) es de dimensión finita; además, el límite para esta dimensión no depende de $π$ . Esta conjetura se demuestra para una gran clase de pares esféricos, incluidos todos los pares simétricos. ^[12]

Aplicaciones

Clasificación

Los pares de Gelfand se utilizan a menudo para clasificar representaciones irreducibles de la siguiente manera:

Sea ( G , K ) un par de Gelfand. Una representación irreducible de G se llama K -distinguida si Hom _K ( $π$ , C ) es unidimensional. La representación india^G
_k( C ) es un modelo para todas las K -representaciones distinguidas, es decir, cualquier K -representaciones distinguidas aparece allí con una multiplicidad exactamente 1. Existe una noción similar para los pares trenzados de Gelfand.

Ejemplo: si G es un grupo reductor sobre un campo local y K es su subgrupo compacto máximo, entonces K -las representaciones distinguidas se denominan esféricas y dichas representaciones se pueden clasificar mediante la correspondencia de Satake. La noción de representación esférica está en la base de la noción de módulo Harish-Chandra .

Ejemplo: si G es un grupo reductor dividido sobre un campo local y K es su subgrupo unipotente máximo, entonces el par ( G , K ) es un par de Gelfand retorcido con respecto a cualquier carácter no degenerado ψ (ver ^[3]^[13] ). En este caso, las K representaciones distinguidas se denominan genéricas (o no degeneradas) y son fáciles de clasificar. Casi cualquier representación irreductible es genérica. La incorporación única (hasta escalar) de una representación genérica a Ind^G
_k( ψ ) se llama modelo de Whittaker .

En el caso de G = GL( n ) hay una versión más detallada del resultado anterior; es decir, existe una secuencia finita de subgrupos Ki y caracteres tales que ( G , Ki ₎ es un par trenzado de Gelfand con respecto a y cualquier representación unitaria irreducible se distingue exactamente por un i ₍ ver [ ^14]_[^15] ). $\psi _{i}$ $\psi _{i}$

Construcción Gelfand-Zeitlin

También se pueden utilizar pares de Gelfand para construir bases para representaciones irreductibles.

Supongamos que tenemos una secuencia que es un par Gelfand fuerte. Por simplicidad supongamos que G _n es compacto. Entonces esto da una descomposición canónica de cualquier representación irreductible de G _n en subrepresentaciones unidimensionales. Cuando G _n = U( n ) (el grupo unitario), esta construcción se denomina base de Gelfand-Zeitlin. Dado que las representaciones de U( n ) son las mismas que las representaciones algebraicas de GL( n ), también obtenemos una base de cualquier representación algebraica irreducible de GL( n ). Sin embargo, la base construida no es canónica ya que depende de la elección de las incrustaciones . ${\textstyle \{1\}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{n}}$ ${\textstyle (G_{i},G_{i-1})}$ ${\textstyle U(i)\subset U(i+1)}$

División de períodos de formas automórficas.

Un uso más reciente de los pares de Gelfand es para dividir períodos de formas automórficas.

Sea G un grupo reductivo definido sobre un campo global F y sea K un subgrupo algebraico de G . Supongamos que para cualquier lugar de F , el par ( G , K ) es un par de Gelfand sobre la terminación . Sea m una forma automórfica sobre G , entonces su período H se divide como producto de factores locales (es decir, factores que dependen sólo del comportamiento de m en cada lugar ). $\nu$ $F_{\nu }$ $\nu$

Ahora supongamos que se nos da una familia de formas automórficas con un parámetro complejo s . Entonces el período de esas formas es una función analítica que se descompone en un producto de factores locales. A menudo esto significa que esta función es una determinada función L y esto proporciona una continuación analítica y una ecuación funcional para esta función L.

Generalmente esos períodos no convergen y conviene regularizarlos. ^{[ cita necesaria ]}

Generalización de la teoría de la representación.

Un posible enfoque a la teoría de la representación es considerar la teoría de la representación de un grupo G como un análisis armónico del grupo G con respecto a la acción bilateral de G × G. De hecho, conocer todas las representaciones irreducibles de G equivale a conocer la descomposición del espacio de funciones en G como una representación G × G. En este enfoque, la teoría de la representación se puede generalizar reemplazando el par ( G × G , G ) por cualquier par esférico ( G , K ). Luego pasaremos a la cuestión del análisis armónico en el espacio G / K con respecto a la acción de G .

Ahora bien, la propiedad de Gelfand para el par ( G , K ) es análoga al lema de Schur .

Utilizando este enfoque, cualquier concepto de la teoría de la representación puede generalizarse al caso de un par esférico. Por ejemplo, la fórmula de traza relativa se obtiene a partir de la fórmula de traza mediante este procedimiento.

Ejemplos

grupos finitos

Algunos ejemplos comunes de pares Gelfand son:

$({\text{Sym}}(n+1),\ {\text{Sym}}(n))$ , el grupo simétrico que actúa sobre n +1 puntos y un estabilizador de puntos que es naturalmente isomorfo a n puntos.
$({\text{AGL}}(n,q),\ {\text{GL}}(n,q))$ , el grupo afín (lineal general) y un estabilizador puntual que es naturalmente isomorfo al grupo lineal general .

Si ( G , K ) es un par de Gelfand, entonces ( G / N , K / N ) es un par de Gelfand para cada G - subgrupo normal N de K . Para muchos propósitos, es suficiente considerar K sin ninguno de estos subgrupos normales no identitarios. La acción de G sobre las clases laterales de K es , por tanto, fiel, por lo que entonces se consideran grupos de permutación G con estabilizadores puntuales K. Ser un par de Gelfand equivale a por cada χ en Irr( G ). Dado que según Frobenius la reciprocidad y es el carácter de la acción de permutación, un grupo de permutación define un par de Gelfand si y sólo si el carácter de permutación es el llamado carácter de permutación libre de multiplicidad . Estos caracteres de permutación libres de multiplicidad se determinaron para los grupos esporádicos en (Breuer y Lux 1996). $[1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1$ $[1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]$ $1\uparrow _{K}^{G}$

Esto da lugar a una clase de ejemplos de grupos finitos con pares de Gelfand: los grupos 2-transitivos . Un grupo de permutación G es 2-transitivo si el estabilizador K de un punto actúa transitivamente sobre los puntos restantes. En particular, G el grupo simétrico en n +1 puntos y K el grupo simétrico en n puntos forman un par de Gelfand para cada n ≥ 1. Esto se deduce porque el carácter de una acción de permutación transitiva 2 es de la forma 1+ χ para algún carácter irreductible χ y el carácter trivial 1, (Isaacs 1994, p. 69).

De hecho, si G es un grupo de permutación transitivo cuyo estabilizador puntual K tiene como máximo cuatro órbitas (incluida la órbita trivial que contiene sólo el punto estabilizado), entonces su anillo de Schur es conmutativo y ( G , K ) es un par de Gelfand (Wielandt 1964). , pág.86). Si G es un grupo primitivo de grado dos veces primo con estabilizador puntual K , entonces nuevamente ( G , K ) es un par de Gelfand (Wielandt 1964, p. 97).

Los pares Gelfand (Sym( n ), K ) se clasificaron en (Saxl 1981). En términos generales, K debe estar contenido como un subgrupo de índice pequeño en uno de los siguientes grupos, a menos que n sea menor que 18:

Sim( norte − k ) × Sim( k )
Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2) para n par ^[^{se necesita aclaración}^]
Sín( norte − 5) × AGL(1,5)
Sín( norte − 6) × PGL(2,5)
Sim( n − 9) × PΓL(2,8)

También se han investigado los pares de Gelfand para grupos clásicos.

Pares simétricos con compacto.k

(GL( norte , R ), O( norte , R ))
(GL( norte , C ), U( norte ))
(O( norte + k , R ), O( norte , R ) × O( k , R ))
(U( norte + k ), U( norte ) × U( k ))
( G , K ) donde G es un grupo de Lie reductivo y K es un subgrupo compacto máximo

Pares de Gelfand simétricos de rango uno

Sea F un campo local de característica cero.

(SL( n + 1, F ), GL( n , F )) para n > 5
(Sp(2 n + 2, F ), Sp(2 n , F )) × Sp(2, F )) para n > 4
(SO( V ⊕ F ), SO( V )) donde V es un espacio vectorial sobre F con forma cuadrática no degenerada

Pares simétricos de alto rango.

Sea F un campo local de característica cero. Sea G un grupo reductivo sobre F . Los siguientes son ejemplos de pares Gelfand simétricos de alto rango:

( G × G , Δ G ), se desprende del lema de Schur
(GL( norte + k , F ), GL( norte , F ) × GL( k , F )) ^[9]^[10]
(GL(2 norte , F ), Sp(2 norte , F )) ^[16]^[17]
(O( norte + k , C ), O( norte , C ) × O( k , C )) ^[18]
(GL ( norte , C ), O ( norte , C )) ^[18]
(GL( n , E ), GL( n , F )) donde E es una extensión cuadrática de F ^[11]^[19]

Fuertes parejas Gelfand

Los siguientes pares son pares Gelfand fuertes:

(Sym( n + 1), Sym( n )), probado usando el antiautomorfismo involutivo g ↦ g ⁻¹
(GL( n + 1, F ), GL( n , F )) donde F es un campo local de característica cero ^[20]^[21]^[22]
(O( V ⊕ F ), O( V )) donde V es un espacio vectorial sobre F con una forma cuadrática no degenerada ^[20]^[22]
U( V ⊕ E ), U( V )) donde E es una extensión cuadrática de F y V es un espacio vectorial sobre E con una forma hermitiana no degenerada ^[20]^[22]

Esos cuatro ejemplos se pueden reformular como la afirmación de que los siguientes son pares de Gelfand:

(Sym( norte + 1) × Sym( norte ), Δ Sym( norte ))
(GL( norte + 1, F ) × GL( norte , F ), Δ GL( norte , F ))
(O( V ⊕ F ) × O( V ), Δ O( V ))
(U( V ⊕ mi ) × U( V ), Δ U( V ))

Ver también

función esférica

Referencias

^ Yakimova, Oksana (2005). Parejas de Gelfand (Tesis). Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn.
^ Nicolas Monod , "Los pares Gelfand admiten una descomposición de Iwasawa". arXiv : 1902.09497
^ ab Israel Gelfand , David Kazhdan , Representaciones del grupo GL(n,K) donde K es un campo local, Grupos de Lie y sus representaciones (Proc. Summer School, Bolyai János Math. Soc., Budapest, 1971), págs. 95--118. Halsted, Nueva York (1975).
^ A. Aizenbud, D. Gourevitch, E. Sayag: (GL_{n+1}(F),GL_n(F)) es un par Gelfand para cualquier campo local F. arXiv :0709.1273
^ Sol, Binyong ; Zhu, Chen-Bo (2011), "Una forma general del criterio de Gelfand-Kazhdan", Manuscripta Math. , 136 (1–2): 185–197, arXiv : 0903.1409 , doi : 10.1007/s00229-011-0437-x, SEÑOR 2820401
^ EGF Thomas, El teorema de Bochner-Schwartz-Godement para pares de Gelfand generalizados, Análisis funcional: encuestas y resultados III, Bierstedt, KD, Fuchssteiner, B. (eds.), Elsevier Science Publishers BV (Holanda Septentrional), (1984) .
^ van Dijk, Gerrit (1986). "Sobre una clase de pares de Gelfand generalizados". Matemáticas. Z. 193 : 581–593.
^ Bosman, EPH; Van Dijk, G. (1994). "Una nueva clase de pares Gelfand". Geometriae Dedicata . 50 (3): 261–282. doi :10.1007/bf01267869. S2CID 121913299.
^ ab Hervé Jacquet , Stephen Rallis (1996). Unicidad de períodos lineales, Compositio Mathematica, tomo 102, no 1, págs. 65-123.
^ ab Aizenbud, A.; Gourevitch, D. (2007). "(GL _n₊₁ ( F ), GL _n ( F )) es un par de Gelfand para cualquier campo local F ". Composición Matemática . 144 (6): 1504-1524. arXiv : 0709.1273 . doi :10.1112/S0010437X08003746.
^ ab Aizenbud, A.; Gourevitch, D. (2008). "Descenso generalizado de Harish-Chandra y aplicaciones a parejas Gelfand". arXiv : 0803.3395 [matemáticas.RT].
^ Yiannis Sakellaridis y Akshay Venkatesh , "Períodos y análisis armónicos en variedades esféricas". arXiv : 1203.0039
^ Joseph Shalika , El teorema de la multiplicidad uno para GL _n , Ann. de Matemáticas. 100(1974) 171–193. Señor 348047
^ Omer Offen, Eitan Sayag, Períodos mixtos globales y modelos locales de Klyachko para el grupo lineal general, arXiv : 0710.3492
^ Omer Offen, Eitan Sayag, SINGULARIDAD Y DESCONEXIÓN DE LOS MODELOS KLYACHKO, arXiv : 0710.3492
^ Heumos, Michael J.; Rallis, Stephen (1990). "Modelos Simplectic-Whittaker para GLn". Pacífico J. Matemáticas . 146 (2): 247–279. doi : 10.2140/pjm.1990.146.247 .
^ E.Sayag (GL (2n, C), SP (2n, C)) es un par Gelfand arXiv : 0805.2625
^ ab A. Aizenbud, D. Gourevitch. Algunos pares simétricos regulares. arXiv : 0805.2504
^ YZ Flicker: Sobre representaciones distinguidas, J. Reine Angew. Matemáticas. 418 (1991), 139-172.
^ abc Aizenbud, Avraham; Gourevitch, Dmitry; Rallis, Stephen ; Schiffmann, Gérard (2010), "Teoremas de multiplicidad uno", Annals of Mathematics , 172 (2): 1407–1434, arXiv : 0709.4215 , doi : 10.4007/annals.2010.172.1413, SEÑOR 2680495
^ Aizenbud, Abraham; Gourevitch, Dmitry (2009), "Teorema de la multiplicidad uno para (GL ( n + 1, R ), GL ( n , R ))", Selecta Math. , Nueva serie, 15 (2): 271–294, arXiv : 0808.2729 , doi :10.1007/s00029-009-0544-7, MR 2529937
^ abc sol, Binyong ; Zhu, Chen-Bo (2012), "Teoremas de multiplicidad uno: el caso de Arquímedes", Annals of Mathematics , 175 (1): 23–44, arXiv : 0903.1413 , doi : 10.4007/annals.2012.175.1.2, MR 2874638

Trabajos citados

Breuer, T.; Lux, K. (1996), "Los caracteres de permutación sin multiplicidad de los grupos simples esporádicos y sus grupos de automorfismo", Communications in Algebra , 24 (7): 2293–2316, doi :10.1080/00927879608825701, MR 1390375
Isaacs, I. Martin (1994), Teoría del carácter de grupos finitos , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-68014-9, SEÑOR 0460423
Saxl, Jan (1981), "Sobre representaciones de permutación sin multiplicidad", Geometrías y diseños finitos (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980) , London Math. Soc. Serie de notas de conferencia, vol. 49, Cambridge University Press , págs. 337–353, SEÑOR 0627512
van Dijk, Gerrit (2009), Introducción al análisis armónico y pares de Gelfand generalizados , Estudios de matemáticas de De Gruyter, vol. 36, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-022019-3
Wielandt, Helmut (1964), Grupos de permutación finitos , Boston, MA: Academic Press , MR 0183775