Módulo gratuito

En matemáticas, un módulo que tiene una base

En matemáticas , un módulo libre es un módulo que tiene una base , es decir, un conjunto generador formado por elementos linealmente independientes . Todo espacio vectorial es un módulo libre, ^[1] pero, si el anillo de los coeficientes no es un anillo de división (no un cuerpo en el caso conmutativo ), entonces existen módulos no libres.

Dado cualquier conjunto S y anillo R , existe un R -módulo libre con base S , que se llama módulo libre en S o módulo de R - combinaciones lineales formales de los elementos de S .

Un grupo abeliano libre es precisamente un módulo libre sobre el anillo Z de números enteros .

Definición

Para un anillo y un módulo , el conjunto es una base para si: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\subseteq M}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle E}$es un conjunto generador para ; es decir, cada elemento de es una suma finita de elementos de multiplicada por coeficientes en ; y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle E}$es linealmente independiente si para cada uno de elementos distintos, implica que (donde es el elemento cero de y es el elemento cero de ). ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$ ${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle R}$

Un módulo libre es un módulo con una base. ^[2]

Una consecuencia inmediata de la segunda mitad de la definición es que los coeficientes de la primera mitad son únicos para cada elemento de M.

Si tiene un número de base invariante , entonces, por definición, dos bases cualesquiera tienen la misma cardinalidad. Por ejemplo, los anillos conmutativos distintos de cero tienen un número de base invariante. La cardinalidad de cualquier base (y, por lo tanto, de toda base) se denomina rango del módulo libre . Si esta cardinalidad es finita, se dice que el módulo libre es libre de rango finito o libre de rango n si se sabe que el rango es n . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Sea R un anillo.

• R es un módulo libre de rango uno sobre sí mismo (ya sea como módulo izquierdo o derecho); cualquier elemento unitario es una base.
• De manera más general, si R es conmutativo, un ideal I distinto de cero de R es libre si y solo si es un ideal principal generado por un divisor distinto de cero, siendo un generador una base. ^[3]
• Sobre un dominio ideal principal (por ejemplo, ), un submódulo de un módulo libre es libre. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Si R es conmutativo, el anillo polinomial en X indeterminado es un módulo libre con una base posible 1, X , X ² , .... ${\displaystyle R[X]}$
• Sea un anillo polinomial sobre un anillo conmutativo A , f un polinomio mónico de grado d allí, y la imagen de t en B . Entonces B contiene a A como subanillo y es libre como un A -módulo con base . ${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle B=A[t]/(f)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• Para cualquier entero no negativo n , , el producto cartesiano de n copias de R como módulo izquierdo de R es libre. Si R tiene un número de base invariante , entonces su rango es n . ${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• Una suma directa de módulos libres es libre, mientras que un producto cartesiano infinito de módulos libres generalmente no es libre (cf. el grupo de Baer-Specker ).
• Un módulo finitamente generado sobre un anillo local conmutativo es libre si y sólo si es fielmente plano . ^[4] Además, el teorema de Kaplansky establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local (posiblemente no conmutativo) es libre.
• A veces, si un módulo es libre o no es indecidible en el sentido de la teoría de conjuntos. Un ejemplo famoso es el problema de Whitehead , que pregunta si un grupo de Whitehead es libre o no. Resulta que el problema es independiente de ZFC.

Combinaciones lineales formales

Dado un conjunto E y un anillo R , existe un módulo R libre que tiene a E como base: es decir, la suma directa de copias de R indexadas por E

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}$.

Explícitamente, es el submódulo del producto cartesiano ( R se considera, por ejemplo, como un módulo izquierdo) que consta de los elementos que tienen solo un número finito de componentes distintos de cero. Se puede incorporar E en R ^{( E )} como un subconjunto identificando un elemento e con el de R ^{( E )} cuyo componente e -ésimo es 1 (la unidad de R ) y todos los demás componentes son cero. Entonces, cada elemento de R ^{( E )} se puede escribir de forma única como ${\textstyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

donde sólo un número finito de elementos no son cero. Se denomina combinación lineal formal de elementos de E . ${\displaystyle c_{e}}$

Un argumento similar muestra que cada módulo R libre izquierdo (o derecho) es isomorfo a una suma directa de copias de R como módulo izquierdo (o derecho).

Otra construcción

El módulo libre R ^{( E )} también puede construirse de la siguiente manera equivalente.

Dado un anillo R y un conjunto E , primero como conjunto dejamos

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.}$

Lo dotamos de una estructura de módulo izquierdo tal que la adición está definida por: para x en E ,

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

y la multiplicación escalar por: para r en R y x en E ,

${\displaystyle (rf)(x)=rf(x)}$

Ahora, como una función de valor R en E , cada f en se puede escribir de forma única como ${\displaystyle R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

donde están en R y solo un número finito de ellos son distintos de cero y se da como ${\displaystyle c_{e}}$ ${\displaystyle \delta _{e}}$

${\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}$

(esta es una variante del delta de Kronecker ). Lo anterior significa que el subconjunto de es una base de . La aplicación es una biyección entre E y esta base. A través de esta biyección, es un módulo libre con la base E . ${\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$

Propiedad universal

La función de inclusión definida anteriormente es universal en el sentido siguiente. Dada una función arbitraria de un conjunto E a un módulo izquierdo R N , existe un homomorfismo de módulo único tal que ; es decir, se define por la fórmula: ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$ ${\displaystyle f:E\to N}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$ ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

y se dice que se obtiene extendiendo por linealidad. La unicidad significa que cada mapa R -lineal está determinado de manera única por su restricción a E . ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R^{(E)}\to N}$

Como es habitual en las propiedades universales, esto define R ^{( E )} hasta un isomorfismo canónico . Además, la formación de para cada conjunto E determina un funtor ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$,

de la categoría de conjuntos a la categoría de R -módulos izquierdos. Se llama funtor libre y satisface una relación natural: para cada conjunto E y un módulo izquierdo N ,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

¿Dónde está el funtor olvidadizo ?, es decir, es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo. ${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(-)}}$

Generalizaciones

Muchas afirmaciones que son ciertas para los módulos libres se extienden a ciertas clases más grandes de módulos. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres. Los módulos planos se definen por la propiedad de que al tensarlos se conservan las secuencias exactas. Los módulos libres de torsión forman una clase aún más amplia. Para un módulo generado finitamente sobre un PID (como Z ), las propiedades libre, proyectivo, plano y libre de torsión son equivalentes.

Ver anillo local , anillo perfecto y anillo Dedekind .

Véase también

• Objeto libre
• Objeto proyectivo
• presentación gratuita
• resolución libre
• Teorema de Quillen-Suslin
• módulo libre estable
• libertad genérica

Notas

1. Keown (1975). Introducción a la teoría de la representación grupal. pág. 24.
2. Hazewinkel (1989). Enciclopedia de matemáticas, volumen 4, pág. 110.
3. Demostración: Supongamos que es libre con una base . Para , debe tener la única combinación lineal en términos de y , lo cual no es cierto. Por lo tanto, como , solo hay un elemento de base que debe ser un divisor distinto de cero. La recíproca es clara. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{x_{j}|j\}}$ ${\displaystyle j\neq k}$ ${\displaystyle x_{j}x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle I\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$
4. Matsumura 1986, Teorema 7.10.

Referencias

Este artículo incorpora material del espacio vectorial libre sobre un conjunto en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos matemáticos universitarios. Oliver y Boyd. Págs. 65-66. ISBN. 0-05-002192-3.Sr. 0345993  .
• Keown, R. (1975). Introducción a la teoría de la representación de grupos . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. Vol. 116. Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6.Sr. 0387387  .
• Govorov, VE (2001) [1994], "Módulo libre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Matsumura, Hideyuki (1986). Teoría de anillos conmutativos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.MR  0879273.Zbl 0603.13001  .​