stringtranslate.com

Polinomio de Kazhdan-Lusztig

En el campo matemático de la teoría de la representación , un polinomio de Kazhdan–Lusztig es un miembro de una familia de polinomios integrales introducidos por David Kazhdan y George Lusztig  (1979). Están indexados por pares de elementos y , w de un grupo de Coxeter W , que puede ser en particular el grupo de Weyl de un grupo de Lie .

Motivación e historia

En la primavera de 1978 Kazhdan y Lusztig estaban estudiando las representaciones de Springer del grupo de Weyl de un grupo algebraico sobre grupos de cohomología -ádicos relacionados con clases de conjugación que son unipotentes . Encontraron una nueva construcción de estas representaciones sobre los números complejos (Kazhdan y Lusztig 1980a). La representación tenía dos bases naturales, y la matriz de transición entre estas dos bases está dada esencialmente por los polinomios de Kazhdan-Lusztig. La construcción real de Kazhdan-Lusztig de sus polinomios es más elemental. Kazhdan y Lusztig la usaron para construir una base canónica en el álgebra de Hecke del grupo de Coxeter y sus representaciones.

En su primer artículo, Kazhdan y Lusztig mencionaron que sus polinomios estaban relacionados con la falla de la dualidad de Poincaré local para las variedades de Schubert . En Kazhdan & Lusztig (1980b) reinterpretaron esto en términos de la cohomología de intersección de Mark Goresky y Robert MacPherson , y dieron otra definición de dicha base en términos de las dimensiones de ciertos grupos de cohomología de intersección .

Las dos bases para la representación de Springer recordaron a Kazhdan y Lusztig las dos bases para el grupo de Grothendieck de ciertas representaciones de dimensión infinita de álgebras de Lie semisimples, dadas por módulos de Verma y módulos simples . Esta analogía, y el trabajo de Jens Carsten Jantzen y Anthony Joseph que relacionan los ideales primitivos de las álgebras envolventes con las representaciones de los grupos de Weyl, llevaron a las conjeturas de Kazhdan-Lusztig.

Definición

Fijemos un grupo de Coxeter W con un conjunto generador S y escribimos para la longitud de un elemento w (la longitud más pequeña de una expresión para w como producto de elementos de S ). El álgebra de Hecke de W tiene una base de elementos para sobre el anillo , con multiplicación definida por

La segunda relación cuadrática implica que cada generador T s es invertible en el álgebra de Hecke, con inversa T s −1 = q −1 T s + q −1 − 1 . Estas inversas satisfacen la relación ( T s −1 + 1)( T s −1q −1 ) = 0 (obtenida al multiplicar la relación cuadrática para T s por −T s −2 q −1 ), y también las relaciones de trenza . De esto se deduce que el álgebra de Hecke tiene un automorfismo D que envía q 1/2 a q −1/2 y cada T s a T s −1 . De manera más general, se tiene ; también se puede ver que D es una involución.

Los polinomios de Kazhdan–Lusztig P yw ( q ) están indexados por un par de elementos y , w de W , y determinados de forma única por las siguientes propiedades.

son invariantes bajo la involución D del álgebra de Hecke. Los elementos forman una base del álgebra de Hecke como un módulo, llamado base de Kazhdan-Lusztig.

Para establecer la existencia de los polinomios de Kazhdan-Lusztig, Kazhdan y Lusztig dieron un procedimiento recursivo simple para calcular los polinomios P ​​yw ( q ) en términos de polinomios más elementales denotados R yw ( q ). definido por

Se pueden calcular utilizando las relaciones de recursión.

Los polinomios de Kazhdan-Lusztig pueden entonces calcularse recursivamente utilizando la relación

utilizando el hecho de que los dos términos de la izquierda son polinomios en q 1/2 y q −1/2 sin términos constantes . Estas fórmulas son tediosas de usar a mano para rangos mayores que aproximadamente 3, pero están bien adaptadas para computadoras, y el único límite para calcular polinomios de Kazhdan–Lusztig con ellas es que para rangos grandes la cantidad de tales polinomios excede la capacidad de almacenamiento de las computadoras.

Ejemplos

Conjeturas de Kazhdan-Lusztig

Los polinomios de Kazhdan–Lusztig surgen como coeficientes de transición entre su base canónica y la base natural del álgebra de Hecke. El artículo de Inventiones también propuso dos conjeturas equivalentes, conocidas ahora como conjeturas de Kazhdan–Lusztig, que relacionaban los valores de sus polinomios en 1 con representaciones de grupos de Lie semisimples complejos y álgebras de Lie , abordando así un problema de larga data en la teoría de la representación.

Sea W un grupo de Weyl finito . Para cada w ∈ W denotemos por M w el módulo de Verma de mayor peso w ( ρ ) − ρ donde ρ es la semisuma de raíces positivas (o vector de Weyl ), y sea L w su cociente irreducible, el módulo de mayor peso simple de mayor peso w ( ρ ) − ρ . Tanto M w como L w son módulos de peso localmente finitos sobre el álgebra de Lie semisimple compleja g con el grupo de Weyl W , y por lo tanto admiten un carácter algebraico . Escribamos ch( X ) para el carácter de un g -módulo X . Las conjeturas de Kazhdan–Lusztig establecen:

donde w 0 es el elemento de longitud máxima del grupo de Weyl.

Estas conjeturas fueron demostradas independientemente sobre cuerpos algebraicamente cerrados característicos 0 por Alexander Beilinson y Joseph Bernstein  (1981) y por Jean-Luc Brylinski y Masaki Kashiwara  (1981). Los métodos introducidos en el curso de la demostración han guiado el desarrollo de la teoría de la representación a lo largo de los años 1980 y 1990, bajo el nombre de teoría de la representación geométrica .

Observaciones

1. Se sabe que las dos conjeturas son equivalentes. Además, el principio de traslación de Borho–Jantzen implica que w ( ρ ) − ρ puede reemplazarse por w ( λ + ρ ) − ρ para cualquier peso integral dominante λ . Por lo tanto, las conjeturas de Kazhdan–Lusztig describen las multiplicidades de Jordan–Hölder de los módulos de Verma en cualquier bloque integral regular de categoría de Bernstein–Gelfand–Gelfand O .

2. Una interpretación similar de todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig se desprende de la conjetura de Jantzen , que dice aproximadamente que los coeficientes individuales de P y,w son multiplicidades de L y en cierto subcociente del módulo de Verma determinado por una filtración canónica, la filtración de Jantzen . La conjetura de Jantzen en el caso integral regular fue demostrada en un artículo posterior de Beilinson y Bernstein  (1993).

3. David Vogan demostró como consecuencia de las conjeturas que

y que Ext j ( M y , L w ) se anula si j + ( w ) + ( y ) es impar, por lo que las dimensiones de todos esos grupos Ext en la categoría O se determinan en términos de coeficientes de polinomios de Kazhdan–Lusztig. Este resultado demuestra que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig de un grupo de Weyl finito son números enteros no negativos. Sin embargo, la positividad para el caso de un grupo de Weyl finito W ya se conocía a partir de la interpretación de los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig como las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección, independientemente de las conjeturas. Por el contrario, la relación entre los polinomios de Kazhdan–Lusztig y los grupos Ext teóricamente se puede utilizar para demostrar las conjeturas, aunque este enfoque para demostrarlas resultó ser más difícil de llevar a cabo.

4. Algunos casos especiales de las conjeturas de Kazhdan–Lusztig son fáciles de verificar. Por ejemplo, M 1 es el módulo antidominante de Verma, que se sabe que es simple. Esto significa que M 1 = L 1 , lo que establece la segunda conjetura para w = 1, ya que la suma se reduce a un solo término. Por otra parte, la primera conjetura para w = w 0 se deduce de la fórmula del carácter de Weyl y de la fórmula para el carácter de un módulo de Verma , junto con el hecho de que todos los polinomios de Kazhdan–Lusztig son iguales a 1.

5. Kashiwara (1990) demostró una generalización de las conjeturas de Kazhdan-Lusztig a las álgebras de Kac-Moody simetrizables .

Relación con la cohomología de intersección de las variedades de Schubert

Por la descomposición de Bruhat el espacio G / B del grupo algebraico G con grupo de Weyl W es una unión disjunta de espacios afines X w parametrizados por elementos w de W . Los cierres de estos espacios X w se llaman variedades de Schubert , y Kazhdan y Lusztig, siguiendo una sugerencia de Deligne, mostraron cómo expresar polinomios de Kazhdan–Lusztig en términos de grupos de cohomología de intersección de variedades de Schubert.

Más precisamente, el polinomio de Kazhdan–Lusztig P y , w ( q ) es igual a

donde cada término de la derecha significa: tome el IC complejo de haces cuya hiperhomología es la homología de intersección de la variedad Schubert de w (el cierre de la celda X w ), tome su cohomología de grado 2 i , y luego tome la dimensión del tallo de este haz en cualquier punto de la celda X y cuyo cierre es la variedad Schubert de y . Los grupos de cohomología de dimensión impar no aparecen en la suma porque todos son cero.

Esto proporcionó la primera prueba de que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos de Weyl finitos son números enteros no negativos.

Generalización a grupos reales

Los polinomios de Lusztig-Vogan (también llamados polinomios de Kazhdan-Lusztig o polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan ) fueron introducidos por Lusztig y Vogan (1983). Son análogos a los polinomios de Kazhdan-Lusztig, pero están diseñados para representaciones de grupos de Lie semisimples reales y desempeñan un papel importante en la descripción conjetural de sus duales unitarios . Su definición es más complicada, lo que refleja la complejidad relativa de las representaciones de grupos reales en comparación con los grupos complejos.

La distinción, en los casos directamente relacionados con la teoría de la representación, se explica en el nivel de clases laterales dobles ; o en otros términos de acciones sobre análogos de variedades bandera complejas G / B donde G es un grupo de Lie complejo y B un subgrupo de Borel . El caso original (KL) trata entonces de los detalles de la descomposición

,

un tema clásico de la descomposición de Bruhat , y antes de la de las células de Schubert en un Grassmaniano . El caso LV toma una forma real G R de G , un subgrupo compacto maximalista K R en ese grupo semisimple G R , y hace la complejización K de K R. Entonces el objeto de estudio relevante es

.

En marzo de 2007, un proyecto colaborativo, el "Atlas de grupos de Lie y representaciones", anunció que se habían calculado los polinomios L–V para la forma dividida de E 8 . [1]

Generalización a otros objetos en la teoría de la representación

El segundo artículo de Kazhdan y Lusztig estableció un marco geométrico para la definición de polinomios de Kazhdan-Lusztig, a saber, la geometría de singularidades de variedades de Schubert en la variedad bandera . Gran parte del trabajo posterior de Lusztig exploró análogos de polinomios de Kazhdan-Lusztig en el contexto de otras variedades algebraicas singulares naturales que surgen en la teoría de la representación, en particular, cierres de órbitas nilpotentes y variedades de carcaj. Resultó que la teoría de la representación de grupos cuánticos , álgebras de Lie modulares y álgebras de Hecke afines están todas estrechamente controladas por análogos apropiados de polinomios de Kazhdan-Lusztig. Admiten una descripción elemental, pero las propiedades más profundas de estos polinomios necesarias para la teoría de la representación se derivan de técnicas sofisticadas de geometría algebraica moderna y álgebra homológica , como el uso de cohomología de intersección , haces perversos y descomposición de Beilinson-Bernstein-Deligne.

Se supone que los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig son las dimensiones de algunos espacios de homomorfismo en la categoría de bimódulo de Soergel. Esta es la única interpretación positiva conocida de estos coeficientes para grupos de Coxeter arbitrarios.

Teoría combinatoria

Las propiedades combinatorias de los polinomios de Kazhdan–Lusztig y sus generalizaciones son un tema de investigación activa en la actualidad. Dada su importancia en la teoría de la representación y la geometría algebraica, se han llevado a cabo intentos de desarrollar la teoría de los polinomios de Kazhdan–Lusztig de manera puramente combinatoria, apoyándose hasta cierto punto en la geometría, pero sin referencia a la cohomología de intersecciones y otras técnicas avanzadas. Esto ha llevado a desarrollos apasionantes en la combinatoria algebraica , como el fenómeno de evitación de patrones . Se dan algunas referencias en el libro de texto de Björner & Brenti (2005). Una monografía de investigación sobre el tema es Billey & Lakshmibai (2000).

Desigualdad

Kobayashi (2013) demostró que los valores de los polinomios de Kazhdan–Lusztig en para los grupos de Coxeter cristalográficos satisfacen cierta desigualdad estricta: Sea un sistema de Coxeter cristalográfico y sus polinomios de Kazhdan–Lusztig. Si y , entonces existe una reflexión tal que .

Notas

  1. ^ van Leeuwen, Marc (2008), "Cálculo de polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan para E8 dividido" (PDF) , Nieuw Archief voor Wiskunde , 9 (2): 113–116, SEÑOR  2454587

Referencias

Enlaces externos