Los coeficientes binomiales se pueden ordenar para formar el triángulo de Pascal , en el que cada entrada es la suma de las dos inmediatamente anteriores.Visualización de la expansión binomial hasta la 4ta potencia.
En matemáticas , los coeficientes binomiales son los números enteros positivos que aparecen como coeficientes en el teorema del binomio . Comúnmente, un coeficiente binomial está indexado por un par de números enteros n ≥ k ≥ 0 y se escribe como el coeficiente del término x k en la expansión polinómica de la potencia binomial (1 + x ) n ; este coeficiente se puede calcular mediante la fórmula multiplicativa
que usando notación factorial se puede expresar de forma compacta como
Por ejemplo, la cuarta potencia de 1 + x es
y el coeficiente binomial es el coeficiente del término x 2 .
Los coeficientes binomiales se dan en muchas áreas de las matemáticas, y especialmente en la combinatoria . El símbolo generalmente se lee como " n elige k " porque hay formas de elegir un subconjunto (desordenado) de k elementos de un conjunto fijo de n elementos. Por ejemplo, hay formas de elegir 2 elementos de {1, 2, 3, 4} , es decir, {1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4 } y {3, 4} .
Los coeficientes binomiales se pueden generalizar para cualquier número complejo z y entero k ≥ 0 , y muchas de sus propiedades continúan manteniéndose en esta forma más general.
Las notaciones alternativas incluyen C ( n , k ) , n C k , n C k , Ckn , [3] Cnk y C n , k , en todos los cuales C representa combinaciones o elecciones . Muchas calculadoras utilizan variantes de la notación C porque pueden representarla en una pantalla de una sola línea. De esta forma, los coeficientes binomiales se comparan fácilmente con k -permutaciones de n , escritas como P ( n , k ) , etc.
Definición e interpretaciones
Para los números naturales (que incluyen 0) n y k , el coeficiente binomial se puede definir como el coeficiente del monomio X k en la expansión de (1 + X ) n . El mismo coeficiente también ocurre (si k ≤ n ) en la fórmula binomial
(válido para cualquier elemento x , y de un anillo conmutativo ), lo que explica el nombre "coeficiente binomial".
Otra aparición de este número es en combinatoria, donde indica el número de formas, sin tener en cuenta el orden, en que se pueden elegir k objetos entre n objetos; más formalmente, el número de k -subconjuntos de elementos (o k -combinaciones ) de un conjunto de n elementos. Este número puede verse igual al de la primera definición, independientemente de cualquiera de las fórmulas siguientes para calcularlo: si en cada uno de los n factores de la potencia (1 + X ) n se etiqueta temporalmente el término X con un índice i (que va de 1 a n ), entonces cada subconjunto de k índices da después de la expansión una contribución X k , y el coeficiente de ese monomio en el resultado será el número de dichos subconjuntos. Esto muestra en particular que es un número natural para cualquier número natural n y k . Hay muchas otras interpretaciones combinatorias de coeficientes binomiales (problemas de conteo cuya respuesta viene dada por una expresión de coeficiente binomial), por ejemplo, el número de palabras formadas por n bits (dígitos 0 o 1) cuya suma es k está dada por , mientras que el número de formas de escribir donde cada a i es un entero no negativo viene dado por . Se puede demostrar que la mayoría de estas interpretaciones son equivalentes a contar k combinaciones.
Calcular el valor de los coeficientes binomiales
Existen varios métodos para calcular el valor de sin expandir realmente una potencia binomial ni contar k combinaciones.
Fórmula recursiva
Un método utiliza la fórmula recursiva puramente aditiva para todos los números enteros de modo que
con valores límite
para todos los números enteros n ≥ 0 .
La fórmula se desprende de considerar el conjunto {1, 2, 3, ..., n } y contar por separado (a) las k agrupaciones de elementos que incluyen un elemento particular del conjunto, digamos " i ", en cada grupo (ya que " i " ya está elegido para llenar un lugar en cada grupo, solo necesitamos elegir k − 1 del resto n − 1 ) y (b) todos los k -grupos que no incluyen " i "; esto enumera todas las k posibles combinaciones de n elementos. También se deduce del seguimiento de las contribuciones a X k en (1 + X ) n −1 (1 + X ) . Como hay cero X n +1 o X −1 en (1 + X ) n , se podría extender la definición más allá de los límites anteriores para incluir cuando k > n o k < 0 . Esta fórmula recursiva permite entonces construir el triángulo de Pascal , rodeado de espacios en blanco donde estarían los ceros, o los coeficientes triviales.
Fórmula multiplicativa
Un método más eficiente para calcular coeficientes binomiales individuales viene dado por la fórmula
donde el numerador de la primera fracción se expresa como una potencia factorial decreciente . Esta fórmula es más fácil de entender para la interpretación combinatoria de coeficientes binomiales. El numerador indica el número de formas de seleccionar una secuencia de k objetos distintos, conservando el orden de selección, de un conjunto de n objetos. El denominador cuenta el número de secuencias distintas que definen la misma k -combinación cuando se ignora el orden.
Debido a la simetría del coeficiente binomial con respecto a k y n − k , el cálculo se puede optimizar estableciendo el límite superior del producto anterior al menor de k y n − k .
fórmula factorial
Finalmente, aunque computacionalmente inadecuada, está la forma compacta, frecuentemente utilizada en pruebas y derivaciones, que hace uso repetido de la conocida función factorial :
donde n ! denota el factorial de n . ¡Esta fórmula se deriva de la fórmula multiplicativa anterior multiplicando el numerador y el denominador por ( n − k )! ; como consecuencia, implica muchos factores comunes al numerador y denominador. Es menos práctico para el cálculo explícito (en el caso de que k sea pequeño y n sea grande) a menos que primero se cancelen los factores comunes (en particular porque los valores factoriales crecen muy rápidamente). La fórmula exhibe una simetría que es menos evidente en la fórmula multiplicativa (aunque sí lo es en las definiciones).
La fórmula multiplicativa permite ampliar la definición de coeficientes binomiales [4] reemplazando n por un número arbitrario α (negativo, real, complejo) o incluso un elemento de cualquier anillo conmutativo en el que todos los números enteros positivos sean invertibles:
Con esta definición se tiene una generalización de la fórmula binomial (con una de las variables establecida en 1), lo que justifica seguir llamando a los coeficientes binomiales:
Esta fórmula es válida para todos los números complejos α y X con | X | < 1. También puede interpretarse como una identidad de series de potencias formales en X , donde en realidad puede servir como definición de potencias arbitrarias de series de potencias con coeficiente constante igual a 1; El punto es que con esta definición se mantienen todas las identidades que uno espera para la exponenciación , en particular
Si α es un entero no negativo n , entonces todos los términos con k > n son cero, [5] y la serie infinita se convierte en una suma finita, recuperando así la fórmula binomial. Sin embargo, para otros valores de α , incluidos los números enteros negativos y los números racionales, la serie es realmente infinita.
el triangulo de pascal
Fila número 1000 del triángulo de Pascal, dispuesta verticalmente, con representaciones en escala de grises de los dígitos decimales de los coeficientes, alineados a la derecha. El límite izquierdo de la imagen corresponde aproximadamente a la gráfica del logaritmo de los coeficientes binomiales e ilustra que forman una secuencia log-cóncava .
que se puede utilizar para demostrar por inducción matemática que es un número natural para todo entero n ≥ 0 y todo entero k , un hecho que no es inmediatamente obvio a partir de la fórmula (1). A la izquierda y a la derecha del triángulo de Pascal, las entradas (mostradas como espacios en blanco) son todas cero.
El número de fila n contiene los números para k = 0,…, n . Se construye colocando primero unos en las posiciones más externas y luego llenando cada posición interna con la suma de los dos números directamente arriba. Este método permite el cálculo rápido de coeficientes binomiales sin necesidad de fracciones ni multiplicaciones. Por ejemplo, al observar la fila número 5 del triángulo, uno puede leer rápidamente que
Combinatoria y estadística.
Los coeficientes binomiales son importantes en combinatoria porque proporcionan fórmulas listas para ciertos problemas de conteo frecuentes:
Hay formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos. Ver Combinación .
Hay formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos si se permiten repeticiones. Consulte Conjunto múltiple .
Como tal, se puede evaluar en cualquier número real o complejo t para definir coeficientes binomiales con esos primeros argumentos. Estos "coeficientes binomiales generalizados" aparecen en el teorema del binomio generalizado de Newton .
Para cada k , el polinomio se puede caracterizar como el polinomio k de grado único p ( t ) que satisface p (0) = p (1) = ⋯ = p ( k − 1) = 0 y p ( k ) = 1 .
Esto puede causar un problema cuando se evalúa en números enteros desde hasta , pero usando las identidades a continuación podemos calcular la derivada como:
Coeficientes binomiales como base para el espacio de polinomios.
Sobre cualquier campo de característica 0 (es decir, cualquier campo que contenga números racionales ), cada polinomio p ( t ) de grado como máximo d es expresable de forma única como una combinación lineal de coeficientes binomiales. El coeficiente a k es la k ésima diferencia de la secuencia p (0), p (1), ..., p ( k ). Explícitamente, [7]
Polinomios con valores enteros
Cada polinomio tiene un valor entero : tiene un valor entero en todas las entradas enteras . (Una forma de demostrar esto es mediante inducción en k , usando la identidad de Pascal ). Por lo tanto, cualquier combinación lineal entera de polinomios de coeficientes binomiales también tiene valores enteros. Por el contrario, ( 4 ) muestra que cualquier polinomio con valores enteros es una combinación lineal entera de estos polinomios de coeficientes binomiales. De manera más general, para cualquier subanillo R de un campo característico 0 K , un polinomio en K [ t ] toma valores en R en todos los números enteros si y solo si es una R -combinación lineal de polinomios de coeficientes binomiales.
Ejemplo
El polinomio de valores enteros 3 t (3 t + 1) / 2 se puede reescribir como
Identidades que involucran coeficientes binomiales
La fórmula factorial facilita relacionar coeficientes binomiales cercanos. Por ejemplo, si k es un entero positivo y n es arbitrario, entonces
y, con un poco más de trabajo,
También podemos conseguir
Además, lo siguiente puede resultar útil:
Para la constante n , tenemos la siguiente recurrencia:
Para resumir, tenemos
Sumas de los coeficientes binomiales
La formula
dice que los elementos en la n- ésima fila del triángulo de Pascal siempre suman 2 elevado a la n -ésima potencia. Esto se obtiene del teorema del binomio ( ∗ ) estableciendo x = 1 e y = 1 . La fórmula también tiene una interpretación combinatoria natural: el lado izquierdo suma el número de subconjuntos de {1, ..., n } de tamaños k = 0, 1, ..., n , dando el número total de subconjuntos. (Es decir, el lado izquierdo cuenta el conjunto potencia de {1,..., n }.) Sin embargo, estos subconjuntos también se pueden generar eligiendo o excluyendo sucesivamente cada elemento 1,..., n ; las n opciones binarias independientes (cadenas de bits) permiten un total de opciones. Los lados izquierdo y derecho son dos formas de contar la misma colección de subconjuntos, por lo que son iguales.
las formulas
y
se sigue del teorema del binomio después de derivar con respecto a x (dos veces para este último) y luego sustituir x = y = 1 .
La identidad de Chu-Vandermonde , que es válida para cualquier valor complejo m y n y cualquier entero no negativo k , es
y se puede encontrar examinando el coeficiente de en la expansión de (1 + x ) m (1 + x ) n − m = (1 + x ) n usando la ecuación ( 2 ). Cuando m = 1 , la ecuación ( 7 ) se reduce a la ecuación ( 3 ). En el caso especial n = 2 m , k = m , usando ( 1 ), la expansión ( 7 ) se convierte (como se ve en el triángulo de Pascal a la derecha)
Triángulo de Pascal, filas 0 a 7. La ecuación 8 para m = 3 se ilustra en las filas 3 y 6 como
Otra forma de la identidad de Chu-Vandermonde, que se aplica a cualquier número entero j , k y n que satisfaga 0 ≤ j ≤ k ≤ n , es
La prueba es similar, pero utiliza la expansión de la serie binomial ( 2 ) con exponentes enteros negativos. Cuando j = k , la ecuación ( 9 ) da la identidad del palo de hockey
y su pariente
Sea F ( n ) el enésimo número de Fibonacci . Entonces
de coeficientes binomiales, [9] se puede usar nuevamente ( 3 ) y la inducción para demostrar que para k = 0,…, n − 1 ,
con caso especial [10]
para norte > 0 . Este último resultado es también un caso especial del resultado de la teoría de diferencias finitas que para cualquier polinomio P ( x ) de grado menor que n , [11]
Diferenciar ( 2 ) k veces y establecer x = −1 produce esto para , cuando 0 ≤ k < n , y el caso general se sigue tomando combinaciones lineales de estas.
Cuando P ( x ) es de grado menor o igual que n ,
donde es el coeficiente de grado n en P ( x ).
Más generalmente para ( 10 ),
donde m y d son números complejos. Esto sigue inmediatamente aplicando ( 10 ) al polinomio en lugar de , y observando que todavía tiene grado menor o igual a n , y que su coeficiente de grado n es d n a n .
Muchas identidades que implican coeficientes binomiales se pueden demostrar mediante métodos combinatorios . Por ejemplo, para números enteros no negativos , la identidad
(que se reduce a ( 6 ) cuando q = 1) se le puede dar una prueba de doble conteo , de la siguiente manera. El lado izquierdo cuenta el número de formas de seleccionar un subconjunto de [ n ] = {1, 2, ..., n } con al menos q elementos, y marcar q elementos entre los seleccionados. El lado derecho cuenta lo mismo, porque hay formas de elegir un conjunto de q elementos para marcar, y de elegir cuáles de los elementos restantes de [ n ] también pertenecen al subconjunto.
En la identidad de Pascal
ambos lados cuentan el número de k -subconjuntos de elementos de [ n ]: los dos términos del lado derecho los agrupan en aquellos que contienen el elemento n y los que no.
La identidad ( 8 ) también tiene una prueba combinatoria. La identidad dice
Supongamos que tiene cuadrados vacíos dispuestos en una fila y desea marcar (seleccionar) n de ellos. Hay maneras de hacer esto. Por otro lado, puedes seleccionar tus n cuadrados seleccionando k cuadrados de entre los primeros n y cuadrados de los n cuadrados restantes; cualquier k de 0 an funcionará. Esto da
Ahora aplique ( 1 ) para obtener el resultado.
Si se denota por F ( i ) la secuencia de números de Fibonacci , indexados de manera que F (0) = F (1) = 1 , entonces la identidad
tiene la siguiente prueba combinatoria. [12] Se puede demostrar por inducción que F ( n ) cuenta el número de formas en que una franja de cuadrados de n × 1 puede cubrirse con mosaicos de 2 × 1 y 1 × 1 . Por otro lado, si dicho mosaico usa exactamente k de los mosaicos de 2 × 1 , entonces usa n − 2 k de los mosaicos de 1 × 1 , por lo que usa n − k mosaicos en total. Hay formas de ordenar estos mosaicos y, por lo tanto, la suma de este coeficiente sobre todos los valores posibles de k da la identidad.
Fila de suma de coeficientes
El número de k - combinaciones para todo k , , es la suma de la n -ésima fila (contando desde 0) de los coeficientes binomiales. Estas combinaciones se enumeran mediante los dígitos 1 del conjunto de números de base 2 contando desde 0 hasta , donde cada posición de dígito es un elemento del conjunto de n .
Ciertas integrales trigonométricas tienen valores expresables en términos de coeficientes binomiales: para cualquier
Estos se pueden demostrar usando la fórmula de Euler para convertir funciones trigonométricas en exponenciales complejas, expandiendo usando el teorema del binomio e integrando término por término.
Congruencias
Si n es primo, entonces para cada k con.
Más generalmente, esto sigue siendo cierto si n es cualquier número y k es tal que todos los números entre 1 y k son coprimos con respecto a n .
En 1852, Kummer demostró que si m y n son enteros no negativos y p es un número primo, entonces la mayor potencia de p dividiendo es igual a p c , donde c es el número de acarreos cuando m y n se suman en base p . De manera equivalente, el exponente de un primo p en
es igual al número de enteros no negativos j tales que la parte fraccionaria de k / p j es mayor que la parte fraccionaria de n / p j . De esto se puede deducir que es divisible por n / mcd ( n , k ). En particular, se deduce que p divide para todos los enteros positivos r y s tales que s < p r . Sin embargo, esto no es cierto para potencias superiores de p : por ejemplo, 9 no divide .
Un resultado algo sorprendente de David Singmaster (1974) es que cualquier número entero divide a casi todos los coeficientes binomiales. Más precisamente, arregle un número entero d y sea f ( N ) el número de coeficientes binomiales con n < N tales que d divide . Entonces
Dado que el número de coeficientes binomiales con n < N es N ( N + 1) / 2, esto implica que la densidad de coeficientes binomiales divisible por d llega a 1.
Los coeficientes binomiales tienen propiedades de divisibilidad relacionadas con el mínimo común múltiplo de números enteros consecutivos. Por ejemplo: [13]
divide .
es un múltiplo de .
Otro hecho: un número entero n ≥ 2 es primo si y sólo si todos los coeficientes binomiales intermedios
son divisibles por n .
Prueba: cuando p es primo, p se divide
para todo 0 < k < p
porque es un número natural y p divide al numerador pero no al denominador. Cuando n es compuesto, sea p el factor primo más pequeño de n y sea k = n / p . Entonces 0 < p < n y
de lo contrario, el numerador k ( n − 1)( n − 2)⋯( n − p + 1) tiene que ser divisible por n = k × p , este solo puede ser el caso cuando ( n − 1)( n − 2) ⋯( n − p + 1) es divisible por p . Pero n es divisible por p , entonces p no divide a n − 1, n − 2,…, n − p + 1 y como p es primo, sabemos que p no divide a ( n − 1)( n − 2) ⋯( n − p + 1) y por tanto el numerador no puede ser divisible por n .
Límites y fórmulas asintóticas.
Los siguientes límites de son válidos para todos los valores de n y k tales que 1 ≤ k ≤ n :
La primera desigualdad se deriva del hecho de que
y cada uno de estos términos en este producto es . Se puede hacer un argumento similar para mostrar la segunda desigualdad. La desigualdad estricta final es equivalente a , eso está claro ya que el RHS es un término de la serie exponencial .
De las propiedades de divisibilidad podemos inferir que
se pueden lograr ambas igualdades. [13]
Los siguientes límites son útiles en teoría de la información: [14] : 353
donde es la función de entropía binaria . Se puede ajustar aún más para que sea aplicable a
todos . [15] : 309
Ambosnorteykgrande
La aproximación de Stirling produce la siguiente aproximación, válida cuando ambas tienden al infinito:
Debido a que las formas de desigualdad de la fórmula de Stirling también limitan los factoriales, ligeras variantes de la aproximación asintótica anterior dan límites exactos. En particular, cuando es suficientemente grande, se tiene y . De manera más general, para m ≥ 2 y n ≥ 1 (nuevamente, aplicando la fórmula de Stirling a los factoriales del coeficiente binomial),
Si n es grande y k es lineal en n , existen varias estimaciones asintóticas precisas para el coeficiente binomial . Por ejemplo, si entonces
donde d = n − 2 k . [dieciséis]
nortemucho más grande quek
Si n es grande y k es o ( n ) (es decir, si k / n → 0 ), entonces
donde nuevamente o es la notación o pequeña . [17]
Sumas de coeficientes binomiales
Se puede obtener un límite superior simple y aproximado para la suma de coeficientes binomiales utilizando el teorema del binomio :
válido
para todos los números enteros con . [18]
Además, la fórmula asintótica
es válida siempre y para algún número complejo .
Generalizaciones
Generalización a multinomios
Los coeficientes binomiales se pueden generalizar a coeficientes multinomiales definidos como el número:
dónde
Mientras que los coeficientes binomiales representan los coeficientes de ( x + y ) n , los coeficientes multinomiales representan los coeficientes del polinomio
El caso r = 2 da coeficientes binomiales:
La interpretación combinatoria de los coeficientes multinomiales es la distribución de n elementos distinguibles en r contenedores (distinguibles), cada uno de los cuales contiene exactamente k i elementos, donde i es el índice del contenedor.
Los coeficientes multinomiales tienen muchas propiedades similares a las de los coeficientes binomiales, por ejemplo, la relación de recurrencia:
La definición de los coeficientes binomiales se puede ampliar al caso en el que es real y es entero.
En particular, la siguiente identidad se cumple para cualquier número entero no negativo :
Esto aparece cuando se expande a una serie de potencias usando la serie binomial de Newton:
Productos de coeficientes binomiales.
Se puede expresar el producto de dos coeficientes binomiales como una combinación lineal de coeficientes binomiales:
donde los coeficientes de conexión son coeficientes multinomiales . En términos de objetos combinatorios etiquetados, los coeficientes de conexión representan el número de formas de asignar m + n − k etiquetas a un par de objetos combinatorios etiquetados (de peso m y n respectivamente) a los que se les han identificado o pegado sus primeras k etiquetas. para obtener un nuevo objeto combinatorio etiquetado de peso m + n − k . (Es decir, separar las etiquetas en tres porciones para aplicarlas a la parte pegada, la parte no pegada del primer objeto y la parte no pegada del segundo objeto). En este sentido, los coeficientes binomiales son series generadoras exponenciales de lo que son los factoriales descendentes. son para series generadoras ordinarias.
El producto de todos los coeficientes binomiales en la enésima fila del triángulo de Pascal viene dado por la fórmula:
Los coeficientes binomiales cuentan subconjuntos de tamaño prescrito de un conjunto determinado. Un problema combinatorio relacionado es contar conjuntos múltiples de tamaño prescrito con elementos extraídos de un conjunto dado, es decir, contar el número de formas de seleccionar un cierto número de elementos de un conjunto dado con la posibilidad de seleccionar el mismo elemento repetidamente. Los números resultantes se denominan coeficientes multiconjunto ; [19] se denota el número de formas de "seleccionar múltiples" (es decir, elegir con reemplazo) k elementos de un conjunto de n elementos .
Para evitar ambigüedad y confusión con la denotación principal de n en este artículo, sea f = n = r + ( k − 1) y r = f − ( k − 1) .
Los coeficientes de conjuntos múltiples se pueden expresar en términos de coeficientes binomiales mediante la regla.
Una posible caracterización alternativa de esta identidad es la siguiente: Podemos definir el factorial descendente como
y el factorial ascendente correspondiente como
así, por ejemplo.
Entonces los coeficientes binomiales se pueden escribir como
mientras que el coeficiente multiconjunto correspondiente se define reemplazando el factorial descendente por el creciente:
Generalización a números enteros negativosnorte
Coeficientes binomiales C ( n , k ) extendidos para n negativo y fraccionario , ilustrados con un binomio simple . Se puede observar que el triángulo de Pascal se gira y se niegan los términos alternos. El caso n = −1 da la serie de Grandi .
Para cualquier n ,
En particular, los coeficientes binomiales evaluados en números enteros negativos n están dados por coeficientes multiconjunto con signo. En el caso especial , esto se reduce a
Por ejemplo, si n = −4 y k = 7, entonces r = 4 y f = 10:
Dos argumentos valorados reales o complejos
El coeficiente binomial se generaliza a dos argumentos de valores reales o complejos utilizando la función gamma o la función beta mediante
Esta definición hereda las siguientes propiedades adicionales de :
además,
La función resultante ha sido poco estudiada y aparentemente se graficó por primera vez en (Fowler 1996). En particular, muchas identidades binomiales fallan: excepto para n positivo (tan negativo). El comportamiento es bastante complejo y marcadamente diferente en varios octantes (es decir, con respecto a los ejes x e y y la línea ), y el comportamiento para x negativo tiene singularidades en valores enteros negativos y un tablero de ajedrez de regiones positivas y negativas:
en el octante es una forma suavemente interpolada del binomio habitual, con una cresta ("cresta de Pascal").
en el octante y en el cuadrante la función es cercana a cero.
en el cuadrante la función es alternativamente muy grande positiva y negativa en los paralelogramos con vértices
en el octante el comportamiento vuelve a ser alternativamente positivo y negativo muy grande, pero en una cuadrícula.
en el octante es cercano a cero, excepto cerca de las singularidades.
La definición del coeficiente binomial se puede generalizar a infinitos cardinales definiendo:
donde A es un conjunto con cardinalidad . Se puede demostrar que el coeficiente binomial generalizado está bien definido, en el sentido de que no importa qué conjunto elijamos para representar el número cardinal , seguirá siendo el mismo. Para cardinales finitos, esta definición coincide con la definición estándar del coeficiente binomial.
Asumiendo el axioma de elección , se puede demostrar que para cualquier cardinal infinito .
^ Ver (Graham, Knuth y Patashnik 1994), que también define para . Las generalizaciones alternativas, como dos argumentos con valores reales o complejos que utilizan la función Gamma, asignan valores distintos de cero a for , pero esto hace que la mayoría de las identidades de coeficientes binomiales fallen y, por lo tanto, no se utilizan ampliamente en la mayoría de las definiciones. Una de esas elecciones de valores distintos de cero conduce al estéticamente agradable "molino de viento de Pascal" en Hilton, Holton y Pedersen, Reflexiones matemáticas: en una habitación con muchos espejos , Springer, 1997, pero hace que incluso la identidad de Pascal falle (en el origen).
^ Cuando es un número entero no negativo, porque el factor -ésimo del numerador es . Por tanto, el término -ésimo es un producto cero para todos .
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