Undecimal (también conocido como sistema numérico undecimal , undenario y base 11 ) es un sistema numérico posicional que utiliza el once como base . Si bien ninguna sociedad conocida cuenta por once, se supone que dos lo hicieron: los maoríes (uno de los dos pueblos polinesios de Nueva Zelanda ) y los pañgwa (un pueblo de habla bantú de Tanzania ). La idea de contar de once en once sigue siendo interesante por su relación con un método tradicional de conteo practicado en la Polinesia. [1] [2] Durante la Revolución Francesa , el sistema undecimal se consideró brevemente como una posible base para el sistema de medición reformado. [3] Los números no decimales tienen aplicaciones en informática, [4] tecnología, [5] y el sistema de número de libros estándar internacional . [6] También aparecen ocasionalmente en obras de ficción popular. [7] En undecimal, una letra mayúscula (a menudo A , el símbolo del 10 en hexadecimal ; T , la primera letra de la palabra inglesa "ten"; o X , el número romano 10) o el dígito ↊ (llamado "dek" ) se utiliza normalmente como símbolo transdecimal para representar el número 10.
Durante aproximadamente un siglo, la idea de que los maoríes contaban de a once fue mejor conocida por su mención en los escritos del matemático estadounidense Levi Leonard Conant . Lo identificó como un "error" que se originó en un diccionario del idioma neozelandés del siglo XIX publicado por el reverendo William Williams , en ese momento archidiácono de Waiapu . [8] : pág. 123
"Hace muchos años apareció una declaración que atrajo la atención y despertó al mismo tiempo la curiosidad. Se decía que los maoríes, los habitantes aborígenes de Nueva Zelanda, utilizaban como base de su sistema numérico el número 11; y que el sistema era bastante ampliamente desarrollado, con palabras simples para 121 y 1331, es decir, para el cuadrado y el cubo de 11." [8] : págs. 122-123
Según lo publicado por Williams en las dos primeras ediciones de la serie de diccionarios, esta declaración decía:
"El modo nativo de contar es por once, hasta llegar al décimo once, que es su centena; luego hasta el décimo centenar, que es su mil:* pero aquellos nativos que mantienen relaciones con los europeos, en su mayor parte , abandonó este método y, dejando de lado a ngahuru , calcule tekau o tahi tekau como 10, rua tekau como 20, etc. *Esto parece basarse en el principio de dejar de lado uno de cada diez como resultado. entre los ingleses, como en el caso de la docena del panadero." [9] : pág. xvi
En 2020, un origen continental anterior de la idea de que los maoríes contaban por once se remonta a los escritos publicados de dos exploradores científicos del siglo XIX, René Primevère Lesson y Jules de Blosseville . [1] Habían visitado Nueva Zelanda en 1824 como parte del viaje de circunnavegación de 1822-1825 del Coquille , [10] una corbeta francesa comandada por Louis Isidore Duperrey y secundada por Jules Dumont d'Urville . A su regreso a Francia en 1825, Lesson publicó su traducción al francés de un artículo escrito por el botánico alemán Adelbert von Chamisso . [11] Ante la afirmación de von Chamisso de que el sistema numérico de Nueva Zelanda se basaba en veinte ( vigesimal ), Lesson insertó una nota a pie de página para marcar un error:
Texto de Von Chamisso, traducido por Lesson: "...de l'E. de la mer du Sud ... c'est là qu'on trouve premierement le système arithmétique fondé sur un échelle de vingt, comme dans la Nouvelle- Zélande (2)..." [11] : pág. 27 [...al este del Mar del Sur... es donde encontramos por primera vez el sistema aritmético basado en una escala de veinte, como en Nueva Zelanda (2)...]
Nota a pie de página de la lección sobre el texto de von Chamisso: "(2) Erreur. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais sont les premiers qui ont propagé cette fausse idée. (L.)" [11] : p. 27 [(2) Error. El sistema aritmético neozelandés es undecimal y los ingleses son los primeros en propagar esta falsa idea. (L).]
Von Chamisso había mencionado su error él mismo en 1821, rastreando la fuente de su confusión y su aclaración hasta Thomas Kendall , el misionero inglés en Nueva Zelanda que proporcionó el material sobre la lengua maorí que fue la base de una gramática publicada en 1820 por los ingleses. lingüista Samuel Lee . [12] [13] En la misma publicación de 1821, von Chamisso también identificó el sistema numérico maorí como decimal, señalando que la fuente de la confusión era la práctica polinesia de contar cosas por pares, donde cada par se contaba como una sola unidad, por lo que que diez unidades equivalían numéricamente a veinte: [12] [13]
"Tenemos ante nosotros una Gramática y Vocabulario de la Lengua de Nueva Zelanda, publicado por la Church Missionary Society. Londres, 1820. 8vo. El autor de esta gramática es el mismo Sr. Kendall que nos ha comunicado el Vocabulario en el viaje de Nicolas. [14] Ahora se nos ha abierto el lenguaje y corregimos nuestra opinión." [12] : pág. 13
Y,
"No es nada fácil descubrir el sistema aritmético de un pueblo. En Nueva Zelanda, como en Tonga, existe el sistema decimal. Lo que tal vez pudo haber engañado al Sr. Kendall, al principio, en su primer intento. En el viaje de Nicolás, y que nosotros seguimos, existe la costumbre de los neozelandeses de contar las cosas por pares. Los nativos de Tonga cuentan los plátanos y los peces igualmente por pares y por veinte ( Tecow , puntuación en inglés)." [12] : págs. 441–442
El uso que hizo Lesson del término "undécimal" en 1825 fue posiblemente un error de imprenta que unía la frase prevista "un décimal", que habría identificado correctamente la numeración de Nueva Zelanda como decimal. [1] Lesson sabía que los números polinesios eran decimales y muy similares en toda la región, ya que había aprendido mucho sobre los sistemas numéricos del Pacífico durante sus dos años y medio en el Coquille , recopilando vocabularios numéricos y finalmente publicando o comentando más de una docena de ellos. [1] También estaba familiarizado con el trabajo de Thomas Kendall y Samuel Lee a través de su traducción del trabajo de von Chamisso. [11] Estas circunstancias sugieren que era poco probable que Lesson hubiera entendido mal el conteo de Nueva Zelanda como si procediera por once. [1]
Lesson y su compañero de barco y amigo, Blosseville, [15] enviaron a sus contemporáneos relatos de su supuesto descubrimiento del conteo basado en once en Nueva Zelanda. Al menos dos de estos corresponsales publicaron estos informes, incluido el geógrafo italiano Adriano Balbi , quien detalló una carta que recibió de Lesson en 1826, [16] y el astrónomo húngaro Franz Xaver von Zach , quien mencionó brevemente el supuesto descubrimiento como parte de un carta de Blosseville que había recibido a través de un tercero. [17] De Blosseville también se lo mencionó al autor escocés George Lillie Craik , quien informó sobre esta carta en su libro de 1830 The New Zealanders . [18] Lesson probablemente también fue el autor de un ensayo sin fecha, escrito por un francés pero anónimo, encontrado y publicado con los artículos del lingüista prusiano Wilhelm von Humboldt en 1839. [19] [20]
La historia se amplió en su recuento: [1] La carta de 1826 publicada por Balbi añadió un supuesto vocabulario numérico con términos para once al cuadrado ( Karaou ) y once al cubo ( Kamano ), así como una explicación de cómo se utilizan las palabras numéricas y el procedimiento de conteo. supuestamente fueron obtenidos de informantes locales. [16] En un giro interesante, también cambió la clasificación errónea que necesitaba corrección de vigesimal a decimal. [11] [16] El ensayo de 1839 publicado con los artículos de von Humboldt nombraba a Thomas Kendall , el misionero inglés cuya confusión sobre los efectos del conteo de pares en los números maoríes había provocado que von Chamisso los identificara erróneamente como vigesimales . [11] [12] [19] También enumeró los lugares de donde supuestamente eran los presuntos informantes locales. [19]
La idea de que los maoríes contaban de once en once resalta una forma ingeniosa y pragmática de contar que alguna vez se practicó en toda la Polinesia. [1] [21] [22] Este método de contar reserva cada décimo elemento para marcar diez de los elementos contados; los artículos apartados se contaron posteriormente de la misma manera, y cada décimo artículo ahora marcaba cien (segunda ronda), mil (tercera ronda), diez mil artículos (cuarta ronda), y así sucesivamente. [1] El método de conteo funcionó igual independientemente de si la unidad base era un solo artículo, un par o un grupo de cuatro (unidades de conteo base utilizadas en toda la región) y fue la base para el conteo binario único que se encuentra en Mangareva , donde El conteo también podría realizarse en grupos de ocho. [1] [23]
El método de contar también resuelve otro misterio: por qué la palabra hawaiana para veinte , iwakalua , significa "nueve y dos". Cuando se utilizó el método de conteo con parejas, se contaron nueve parejas (18) y la última pareja (2) se reservó para la siguiente ronda. [1] [2]
Se sabe menos sobre la idea de que el pueblo Pañgwa de Tanzania contaba por once. Fue mencionado en 1920 por el antropólogo británico Northcote W. Thomas :
"Otro sistema de numeración anormal es el de los Pangwa, al noreste del lago Nyassa, que utilizan una base de once." [24] : pág. 59
Y,
"Si pudiéramos estar seguros de que ki dzigo originalmente tenía el significado de once, no diez, en Pangwa, sería tentador correlacionar el dzi o či con la misma palabra en Walegga-Lendu, donde significa doce, y así poner en una relación, aunque sea de la más endeble y remota, con las tres áreas en las que se utilizan sistemas anormales". [24] : pág. 59
La afirmación fue repetida por el explorador y administrador colonial británico Harry H. Johnston en el vol. II de su estudio de 1922 sobre las lenguas bantú y semibantú . Él también notó sugerentes similitudes entre el término Pañgwa para once y los términos para diez en idiomas relacionados: [25]
"Ocasionalmente hay términos especiales para 'once'. Hasta donde llega mi información, son los siguientes:
Ki-dzigꞷ 36 (en este idioma, el Pangwa del noreste de Nyasaland, el conteo en realidad va de once. Ki-dzigꞷ-kavili = 'veintidós', Ki-dzigꞷ-kadatu = 'treinta y tres'). Sin embargo, la raíz -dzigꞷ es obviamente la misma que la -tsigꞷ , que significa 'diez' en el número 38. También puede estar relacionada con la -digi ('diez') de 148, -tuku o -dugu de los Ababua. y lenguas Congo, -dikꞷ de 130, -liku de 175 ('ocho'), y el Tiag de 249." [25] : p. 477
En la clasificación de Johnston de las lenguas bantú y semibantú , [25]
Hoy en día, se entiende que Pañgwa tiene números decimales, y los números seis y superiores se toman prestados del suajili . [26]
En junio de 1789, pocas semanas antes de que comenzara la Revolución Francesa con la toma de la Bastilla , la Academia de Ciencias estableció un comité ( la Commission des Poids et Mesures ) para estandarizar los sistemas de pesos y medidas, una reforma popular que fue un primer paso hacia creación del sistema métrico internacional . [27] [28] El 27 de octubre de 1790, el comité informó que habían considerado el uso del duodecimal (base 12) como base para pesos, longitudes/distancias y dinero debido a su mayor divisibilidad, en relación con el decimal (base 10). [29] Sin embargo, finalmente rechazaron la iniciativa, decidiendo que una escala común basada en números hablados simplificaría los cálculos y las conversiones y haría que el nuevo sistema fuera más fácil de implementar. [29] Al matemático Joseph-Louis Lagrange , miembro del comité, se le atribuye haber influido en el comité para seleccionar el decimal. [3] El debate sobre cuál usar parece haber sido animado, si no polémico, ya que en un momento, Lagrange sugirió adoptar 11 como número base, basándose en que la indivisibilidad era en realidad ventajosa; debido a que 11 era un número primo , ninguna fracción con él como denominador sería reducible: [3] [30]
Delambre escribió: "Il était peu frappé de l'objection que l'on tirait contra ce système du petit nombre des diviseurs de sa base. Il lamenttait presque qu'elle ne fut pas un nombre premier, tel que 11, qui nécessairement eût donné un même dénominateur à toutes les fracciones On respectera, si l'on veut, cette idée comme una de ces exagerations qui échappent aux meilleurs esprits dans le feu de la disputa; , que des novateurs plus intrépides auraient voulu substituer à celui de 10, qui fait partout la base de la numeración." [3] : pág. lxvi
Traducido: "Él [Lagrange] casi lamentó que [la base] no fuera un número primo, como 11, que necesariamente daría a todas las fracciones el mismo denominador. Esta idea se considerará, por así decirlo, como una de esas exageraciones que escapar de las mejores mentes en el fragor de la discusión; pero sólo utilizó el número 11 para descartar el número 12, que los innovadores más intrépidos querían sustituir por el 10, que es la base de la numeración en todas partes."
En 1795, en las conferencias públicas publicadas en la École Normale , Lagrange observó que las fracciones con distintos denominadores (por ejemplo, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 , 1 ⁄ 4 , 1 ⁄ 5 , 1 ⁄ 7 ), aunque simples en sí mismas, eran inconveniente, ya que sus diferentes denominadores hacían difícil compararlos. [31] Es decir, las fracciones no son difíciles de comparar si el numerador es 1 (por ejemplo, 1 ⁄ 2 es mayor que 1 ⁄ 3 , que a su vez es mayor que 1 ⁄ 4 ). Sin embargo, las comparaciones se vuelven más difíciles cuando se mezclan numeradores y denominadores: 3 ⁄ 4 es mayor que 5 ⁄ 7 , que a su vez es mayor que 2 ⁄ 3 , aunque esto no se puede determinar mediante una simple inspección de los denominadores de la manera posible si el numerador es 1. Señaló que la dificultad se resolvía si todas las fracciones tenían el mismo denominador:
Lagrange escribió: "On voit aussi par-là, qu'il est indifférent que le nombre qui adapte la base du système, comme le nombre 10 dans notre système décimal, ait des diviseurs ou non; peut-être même y aurait-il, à quelques égards, de l'avantage à ce que ce nombre n'eût point de diviseurs, como el nombre 11, ce qui aurait lieu dans le système undécimal, parce qu'on en serait moins porté à patron les fracciones 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 , etc." [31] : pág. 23
Traducido: "También vemos por este [argumento sobre la divisibilidad], no importa si el número que es la base del sistema, como el número 10 en nuestro sistema decimal, tiene divisores o no; tal vez incluso los habría, en algunos aspectos, una ventaja si este número no tuviera divisores, como el número 11, lo que sucedería en el sistema undecimal, porque uno estaría menos inclinado a usar las fracciones 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 , etc."
Al contar la historia, Ralph H. Beard (en 1947, presidente de la entonces denominada Sociedad Duodecimal de América) señaló que los números de base 11 tienen la desventaja de que, para los números primos superiores a 11, "no podemos decirlo sin realizar pruebas". ellos, no sólo si son primos o no, sino, sorprendentemente, si son pares o impares". [32] : pág. 9
El undecimal (a menudo denominado no decimal en este contexto) es útil en informática y tecnología para comprender el complemento (restar mediante suma negativa) [4] y realizar comprobaciones de dígitos en un canal decimal. [5]
Cualquier sistema numérico con una base mayor que diez requiere uno o más dígitos nuevos; "en un sistema undenario (base once) debería haber un carácter para diez." [33] : pág. 345 Para permitir la entrada en máquinas de escribir, se utilizan letras como ⟨ A ⟩ (como en hexadecimal ), ⟨ T ⟩ (la inicial de "diez") o ⟨ X ⟩ (el número romano 10) para el número 10 en base 11. También es posible utilizar el dígito ↊ ("dek"), el llamado número de Pitman para 10 propuesto en 1947 por Isaac Pitman como uno de los dos símbolos transdecimales necesarios para representar la base 12 ( duodecimal ). [34]
Los números de 10 dígitos en el sistema de Números Estándar Internacionales de Libros (ISBN) utilizan el undecimal como dígito de control . [6] Un dígito de control es el dígito final de un ISBN que está relacionado matemáticamente con todos los demás dígitos que contiene y que se utiliza para verificar su exactitud. [35] Representa la respuesta a un cálculo matemático, en este caso, uno que multiplica los diez dígitos del ISBN por los números enteros del diez (dígito más a la izquierda) al dos (penúltimo dígito más a la derecha, siendo el último el dígito de control). mismo) y luego los suma. [36] El cálculo debe producir un múltiplo de once, con su dígito final, representado por los dígitos del 0 al 9 o una X (para diez), siendo igual al décimo dígito del ISBN. [36] A partir del 1 de enero de 2007 [actualizar], los ISBN de trece dígitos son el estándar. [6] La Agencia Internacional del ISBN proporciona una calculadora en línea que convertirá los ISBN de diez dígitos en trece dígitos. [37]
En la novela Contacto de Carl Sagan , un mensaje dejado por una inteligencia avanzada desconocida se esconde dentro del número pi ; el mensaje se revela mejor cuando pi se calcula en un formato no decimal. [38] [39] : pág. 317 En la serie de televisión Babylon 5 , la raza avanzada conocida como Minbari utiliza números no decimales que realizan contando diez dedos y la cabeza, según el creador de la serie J. Michael Straczynski . [40] [41]