Ecuaciones de campo de Einstein

Ecuaciones de campo en la relatividad general

En la teoría general de la relatividad , las ecuaciones de campo de Einstein ( EFE ; también conocidas como ecuaciones de Einstein ) relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de materia dentro de él. ^[1]

Las ecuaciones fueron publicadas por Albert Einstein en 1915 en forma de ecuación tensorial ^[2] que relacionaba lacurvatura del espacio-tiempo (expresada por eltensor de Einstein) con la energía,el momentoy la tensión locales dentro de ese espacio-tiempo (expresados ​​por eltensor de tensión-energía).^[3]

De manera análoga a la forma en que los campos electromagnéticos se relacionan con la distribución de cargas y corrientes a través de las ecuaciones de Maxwell , las EFE relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa-energía, momento y tensión, es decir, determinan el tensor métrico del espacio-tiempo para una disposición dada de tensión-energía-momento en el espacio-tiempo. La relación entre el tensor métrico y el tensor de Einstein permite que las EFE se escriban como un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales cuando se usan de esta manera. Las soluciones de las EFE son los componentes del tensor métrico. Las trayectorias inerciales de partículas y radiación ( geodésicas ) en la geometría resultante se calculan luego utilizando la ecuación geodésica .

Además de implicar la conservación de la energía y el momento local, la EFE se reduce a la ley de gravitación de Newton en el límite de un campo gravitacional débil y velocidades que son mucho menores que la velocidad de la luz . ^[4]

Las soluciones exactas para la EFE solo se pueden encontrar bajo supuestos simplificadores como la simetría . Las clases especiales de soluciones exactas se estudian con mayor frecuencia, ya que modelan muchos fenómenos gravitacionales, como los agujeros negros en rotación y el universo en expansión . Se logra una mayor simplificación al aproximar el espacio-tiempo como si tuviera solo pequeñas desviaciones del espacio-tiempo plano , lo que conduce a la EFE linealizada . Estas ecuaciones se utilizan para estudiar fenómenos como las ondas gravitacionales .

Forma matemática

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) pueden escribirse en la forma: ^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

EFE en un muro en Leiden , Países Bajos

donde es el tensor de Einstein , es el tensor métrico , es el tensor de tensión-energía , es la constante cosmológica y es la constante gravitacional de Einstein. ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

El tensor de Einstein se define como

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

donde es el tensor de curvatura de Ricci y es la curvatura escalar . Este es un tensor simétrico de segundo grado que depende únicamente del tensor métrico y de sus derivadas primera y segunda. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$

La constante gravitacional de Einstein se define como ^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665(5)\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$o ${\displaystyle {\textrm {m/J}},}$

donde G es la constante de gravitación newtoniana y c es la velocidad de la luz en el vacío .

La EFE también puede escribirse como

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

En unidades estándar, cada término de la izquierda tiene unidades de 1/longitud ² .

La expresión de la izquierda representa la curvatura del espacio-tiempo determinada por la métrica; la expresión de la derecha representa el contenido de tensión-energía-momento del espacio-tiempo. La EFE puede interpretarse entonces como un conjunto de ecuaciones que dictan cómo la tensión-energía-momento determina la curvatura del espacio-tiempo.

Estas ecuaciones, junto con la ecuación geodésica ^[8] , que dicta cómo se mueve la materia en caída libre a través del espacio-tiempo, forman el núcleo de la formulación matemática de la relatividad general .

La EFE es una ecuación tensorial que relaciona un conjunto de tensores simétricos de 4 × 4. Cada tensor tiene 10 componentes independientes. Las cuatro identidades de Bianchi reducen el número de ecuaciones independientes de 10 a 6, dejando la métrica con cuatro grados de libertad de fijación de calibre , que corresponden a la libertad de elegir un sistema de coordenadas.

Aunque las ecuaciones de campo de Einstein se formularon inicialmente en el contexto de una teoría de cuatro dimensiones, algunos teóricos han explorado sus consecuencias en n dimensiones. ^[9] Las ecuaciones en contextos fuera de la relatividad general todavía se conocen como ecuaciones de campo de Einstein. Las ecuaciones de campo de vacío (obtenidas cuando T _μν es cero en todas partes) definen las variedades de Einstein .

Las ecuaciones son más complejas de lo que parecen. Dada una distribución específica de materia y energía en forma de un tensor de tensión-energía, las ecuaciones diferenciales parciales se entienden como ecuaciones para el tensor métrico , ya que tanto el tensor de Ricci como la curvatura escalar dependen de la métrica de una manera no lineal complicada. Cuando se escriben completamente, las ecuaciones diferenciales parciales son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas-elípticas no lineales acopladas . ^[10] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Convención de signos

La forma anterior del EFE es el estándar establecido por Misner, Thorne y Wheeler (MTW). ^[11] Los autores analizaron las convenciones existentes y las clasificaron según tres signos ([S1] [S2] [S3]):

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

El tercer signo anterior está relacionado con la elección de la convención para el tensor de Ricci: $${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$$

Con estas definiciones, Misner, Thorne y Wheeler se clasifican a sí mismos como (+ + +) , mientras que Weinberg (1972) ^[12] es (+ − −) , Peebles (1980) ^[13] y Efstathiou et al. (1990) ^[14] son ​​(− + +) , Rindler (1977), ^{[ cita requerida ]} Atwater (1974), ^{[ cita requerida ]} Collins Martin & Squires (1989) ^[15] y Peacock (1999) ^[16] son ​​(− + −) .

Autores como Einstein han utilizado un signo diferente en su definición del tensor de Ricci, lo que da como resultado que el signo de la constante en el lado derecho sea negativo: $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

El signo del término cosmológico cambiaría en ambas versiones si se utiliza la convención de signo métrico (+ − − −) en lugar de la convención de signo métrico MTW (− + + +) adoptada aquí.

Formulaciones equivalentes

Tomando la traza con respecto a la métrica de ambos lados de la EFE se obtiene donde D es la dimensión del espacio-tiempo. Resolviendo para R y sustituyéndolo en la EFE original, se obtiene la siguiente forma equivalente "de traza invertida": $${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$$

En D = 4 dimensiones esto se reduce a $${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$$

Si se invierte la traza nuevamente, se restablecería el EFE original. La forma de traza invertida puede ser más conveniente en algunos casos (por ejemplo, cuando uno está interesado en el límite del campo débil y puede reemplazar la expresión de la derecha con la métrica de Minkowski sin una pérdida significativa de precisión). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

La constante cosmológica

En las ecuaciones de campo de Einstein, el término que contiene la constante cosmológica Λ no estaba presente en la versión en la que las publicó originalmente. Einstein luego incluyó el término con la constante cosmológica para permitir un universo que no se expande ni se contrae . Este esfuerzo no tuvo éxito porque: $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

• Cualquier solución de estado estable deseada descrita por esta ecuación es inestable, y
• Las observaciones de Edwin Hubble demostraron que nuestro universo se está expandiendo .

Einstein abandonó entonces Λ y le comentó a George Gamow "que la introducción del término cosmológico fue el mayor error de su vida". ^[17]

La inclusión de este término no crea inconsistencias. Durante muchos años se asumió casi universalmente que la constante cosmológica era cero. Observaciones astronómicas más recientes han mostrado una expansión acelerada del universo , y para explicar esto se necesita un valor positivo de Λ . ^{[18] [19]} El efecto de la constante cosmológica es despreciable a escala de una galaxia o más pequeña.

Einstein pensó en la constante cosmológica como un parámetro independiente, pero su término en la ecuación de campo también puede trasladarse algebraicamente al otro lado e incorporarse como parte del tensor de tensión-energía: $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

Este tensor describe un estado de vacío con una densidad de energía ρ _vac y una presión isótropa p _vac que son constantes fijas y están dadas por donde se supone que Λ tiene la unidad SI m ⁻² y κ se define como anteriormente. $${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$

La existencia de una constante cosmológica equivale, por tanto, a la existencia de una energía de vacío y de una presión de signo opuesto. Esto ha llevado a que los términos "constante cosmológica" y "energía de vacío" se utilicen indistintamente en la relatividad general.

Características

Conservación de la energía y el momento

La relatividad general es consistente con la conservación local de la energía y el momento expresada como

$${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

Derivación de la conservación de la energía y el momento local

Al contraer la identidad diferencial de Bianchi con g ^αβ se obtiene, utilizando el hecho de que el tensor métrico es covariantemente constante, es decir, g ^αβ _;γ = 0 , $${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$$ $${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

La antisimetría del tensor de Riemann permite reescribir el segundo término de la expresión anterior:

$${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$lo que equivale a utilizar la definición del tensor de Ricci . $${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

A continuación, vuelva a contraer la métrica para obtener $${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$$ $${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Las definiciones del tensor de curvatura de Ricci y de la curvatura escalar muestran entonces que puede reescribirse como $${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0}$$

Una contracción final con g ^εδ da que por la simetría del término entre corchetes y la definición del tensor de Einstein , da, después de volver a etiquetar los índices, $${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

Usando el EFE, esto da inmediatamente, $${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

que expresa la conservación local de la energía-esfuerzo. Esta ley de conservación es un requisito físico. Con sus ecuaciones de campo, Einstein aseguró que la relatividad general es consistente con esta condición de conservación.

No linealidad

La no linealidad de la EFE distingue a la relatividad general de muchas otras teorías físicas fundamentales. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo son lineales en los campos eléctrico y magnético , y en las distribuciones de carga y corriente (es decir, la suma de dos soluciones también es una solución); otro ejemplo es la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica , que es lineal en la función de onda .

El principio de correspondencia

La ecuación de campo débil se reduce a la ley de gravedad de Newton utilizando tanto la aproximación de campo débil como la aproximación de cámara lenta . De hecho, la constante G que aparece en la ecuación de campo débil se determina haciendo estas dos aproximaciones.

Derivación de la ley de gravedad de Newton

La gravitación newtoniana se puede escribir como la teoría de un campo escalar, Φ , que es el potencial gravitatorio en julios por kilogramo del campo gravitatorio g = −∇Φ , véase la ley de Gauss para la gravedad donde ρ es la densidad de masa. La órbita de una partícula en caída libre satisface $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$$ $${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$$

En notación tensorial, estos se convierten en $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$$

En relatividad general, estas ecuaciones se reemplazan por las ecuaciones de campo de Einstein en forma de traza invertida para alguna constante, K , y la ecuación geodésica $${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$$

Para ver cómo se reduce lo último a lo primero, suponemos que la velocidad de la partícula de prueba es aproximadamente cero y, por lo tanto , que la métrica y sus derivadas son aproximadamente estáticas y que los cuadrados de las desviaciones de la métrica de Minkowski son insignificantes. La aplicación de estas suposiciones simplificadoras a los componentes espaciales de la ecuación geodésica da donde dos factores de ⁠ $${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$$es/dτ⁠ se han dividido. Esto se reducirá a su contraparte newtoniana, siempre que $${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$$

Nuestras suposiciones obligan a que α = i y las derivadas temporales (0) sean cero. Por lo tanto, esto se simplifica a lo que se cumple al dejar $${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$$ $${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$$

Volviendo a las ecuaciones de Einstein, solo necesitamos el componente tiempo-tiempo; las suposiciones de baja velocidad y campo estático implican que $${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$$

Así y así $${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$$ $${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$$

De la definición del tensor de Ricci $${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$$

Nuestras suposiciones simplificadoras hacen que los cuadrados de Γ desaparezcan junto con las derivadas temporales. $${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$$

Combinando las ecuaciones anteriores , se obtiene la ecuación de campo newtoniana que se obtiene si $${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$$ $${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$$

Ecuaciones del campo de vacío

Una moneda conmemorativa suiza de 1979, que muestra las ecuaciones de campo de vacío con constante cosmológica cero (arriba).

Si el tensor de energía-momento T _μν es cero en la región en consideración, entonces las ecuaciones de campo también se denominan ecuaciones de campo de vacío . Al establecer T _μν = 0 en las ecuaciones de campo de traza invertida, las ecuaciones de campo de vacío, también conocidas como "ecuaciones de vacío de Einstein" (EVE), se pueden escribir como $${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

En el caso de una constante cosmológica distinta de cero, las ecuaciones son $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

Las soluciones de las ecuaciones de campo del vacío se denominan soluciones de vacío . El espacio plano de Minkowski es el ejemplo más simple de una solución de vacío. Ejemplos no triviales incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr .

Las variedades con un tensor de Ricci que se desvanece , R _μν = 0 , se denominan variedades de Ricci-planas y las variedades con un tensor de Ricci proporcional a la métrica, variedades de Einstein .

Ecuaciones de Einstein-Maxwell

Si el tensor de energía-momento T _μν es el de un campo electromagnético en el espacio libre , es decir, si se utiliza el tensor de tensión-energía electromagnética , entonces las ecuaciones de campo de Einstein se denominan ecuaciones de Einstein-Maxwell (con constante cosmológica Λ , tomada como cero en la teoría de la relatividad convencional): $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$ $${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

Además, las ecuaciones covariantes de Maxwell también son aplicables en el espacio libre: donde el punto y coma representa una derivada covariante , y los corchetes denotan antisimetrización . La primera ecuación afirma que la 4- divergencia de la 2-forma F es cero, y la segunda que su derivada exterior es cero. De esta última, se sigue por el lema de Poincaré que en un diagrama de coordenadas es posible introducir un potencial de campo electromagnético A _α tal que en el que la coma denota una derivada parcial. Esto a menudo se toma como equivalente a la ecuación covariante de Maxwell de la que se deriva. ^[20] Sin embargo, hay soluciones globales de la ecuación que pueden carecer de un potencial definido globalmente. ^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

Soluciones

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espacio-tiempo . Estas métricas describen la estructura del espacio-tiempo, incluido el movimiento inercial de los objetos en el espacio-tiempo. Como las ecuaciones de campo no son lineales, no siempre se pueden resolver por completo (es decir, sin hacer aproximaciones). Por ejemplo, no se conoce una solución completa para un espacio-tiempo con dos cuerpos masivos en él (que es un modelo teórico de un sistema estelar binario, por ejemplo). Sin embargo, en estos casos se suelen hacer aproximaciones. Estas se denominan comúnmente aproximaciones post-newtonianas . Aun así, hay varios casos en los que las ecuaciones de campo se han resuelto por completo, y esas se denominan soluciones exactas . ^[9]

El estudio de las soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein es una de las actividades de la cosmología . Conduce a la predicción de los agujeros negros y a diferentes modelos de evolución del universo .

También se pueden descubrir nuevas soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein mediante el método de los marcos ortonormales, como lo iniciaron Ellis y MacCallum. ^[22] En este enfoque, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y no lineales. Como lo discutieron Hsu y Wainwright, ^[23] las soluciones autosimilares a las ecuaciones de campo de Einstein son puntos fijos del sistema dinámico resultante. LeBlanc ^[24] y Kohli y Haslam han descubierto nuevas soluciones utilizando estos métodos . ^[25]

El EFE linealizado

La no linealidad de la ecuación de campo hace que sea difícil encontrar soluciones exactas. Una forma de resolver las ecuaciones de campo es hacer una aproximación, es decir, que lejos de la(s) fuente(s) de materia gravitatoria, el campo gravitatorio es muy débil y el espacio-tiempo se aproxima al del espacio de Minkowski . La métrica se escribe entonces como la suma de la métrica de Minkowski y un término que representa la desviación de la métrica verdadera respecto de la métrica de Minkowski , ignorando los términos de mayor potencia. Este procedimiento de linealización se puede utilizar para investigar los fenómenos de la radiación gravitatoria .

Forma polinómica

A pesar de que los EFE tal como están escritos contienen la inversa del tensor métrico, se pueden organizar de una forma que contenga el tensor métrico en forma polinómica y sin su inversa. En primer lugar, el determinante de la métrica en 4 dimensiones se puede escribir utilizando el símbolo de Levi-Civita ; y la inversa de la métrica en 4 dimensiones se puede escribir como: $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$ $${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

Sustituyendo esta expresión de la inversa de la métrica en las ecuaciones y luego multiplicando ambos lados por una potencia adecuada de det( g ) para eliminarla del denominador, se obtienen ecuaciones polinómicas en el tensor métrico y sus derivadas primera y segunda. La acción de Einstein-Hilbert de la que se derivan las ecuaciones también se puede escribir en forma polinómica mediante redefiniciones adecuadas de los campos. ^[26]

Véase también

• Espacio-tiempos conformastáticos
• Acción de Einstein-Hilbert
• Principio de equivalencia
• Soluciones exactas en relatividad general
• Recursos sobre la relatividad general
• Historia de la relatividad general
• Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein
• Matemáticas de la relatividad general
• Relatividad numérica
• Cálculo de Ricci

Notas

1. Einstein, Albert (1916). "La base de la teoría general de la relatividad". Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode :1916AnP...354..769E. doi :10.1002/andp.19163540702. Archivado desde el original ( PDF ) el 2012-02-06.
2. Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Consultado el 21 de agosto de 2017 .
3. Misner, Thorne y Wheeler (1973), pág. 916 [cap. 34].
4. Carroll, Sean (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . Addison Wesley. págs. 151-159. ISBN 0-8053-8732-3.
5. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
6. Con la elección de la constante gravitacional de Einstein como se da aquí, κ = 8 πG / c ⁴ , el tensor de tensión-energía en el lado derecho de la ecuación debe escribirse con cada componente en unidades de densidad de energía (es decir, energía por volumen, equivalentemente presión). En la publicación original de Einstein, la elección es κ = 8 πG / c ² , en cuyo caso los componentes del tensor de tensión-energía tienen unidades de densidad de masa.
7. Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). Introducción a la relatividad general (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4.OCLC 1046135  .
8. Weinberg, Steven (1993). Sueños de una teoría final: la búsqueda de las leyes fundamentales de la naturaleza . Vintage Press. pp. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
9. Stephani, Hans; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7.
10. Rendall, Alan D. (2005). "Teoremas sobre la existencia y dinámica global para las ecuaciones de Einstein". Living Rev. Relativ . 8 (1). Número de artículo: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Código Bibliográfico :2005LRR.....8....6R. doi : 10.12942/lrr-2005-6 . PMC 5256071 . PMID  28179868. 
11. Misner, Thorne y Wheeler (1973), pág. 501 y siguientes.
12. Weinberg (1972).
13. Peebles, Phillip James Edwin (1980). La estructura a gran escala del universo . Princeton University Press. ISBN 0-691-08239-1.
14. Efstathiou, G.; Sutherland, WJ; Maddox, SJ (1990). "La constante cosmológica y la materia oscura fría". Nature . 348 (6303): 705. Bibcode :1990Natur.348..705E. doi :10.1038/348705a0. S2CID  12988317.
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Referencias

Ver recursos de relatividad general .

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• Weinberg, Steven (1972). Gravitación y cosmología . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
• Peacock, John A. (1999). Física cosmológica . Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.

Enlaces externos

• "Ecuaciones de Einstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial de Caltech sobre relatividad: una introducción sencilla a las ecuaciones de campo de Einstein.
• El significado de la ecuación de Einstein: una explicación de la ecuación de campo de Einstein, su derivación y algunas de sus consecuencias
• Videoconferencia sobre las ecuaciones de campo de Einstein a cargo del profesor de física del MIT Edmund Bertschinger.
• Arco y andamio: Cómo Einstein encontró sus ecuaciones de campo Physics Today Noviembre 2015, Historia del desarrollo de las ecuaciones de campo

Imágenes externas

• La ecuación de campo de Einstein en la pared del Museo Boerhaave en el centro de Leiden
• Suzanne Imber , "El impacto de la relatividad general en el desierto de Atacama", Ecuación de campo de Einstein en el costado de un tren en Bolivia.