Álgebra MV

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas puras , una MV-álgebra es una estructura algebraica con una operación binaria , una operación unaria y la constante , que satisface ciertos axiomas. Las MV-álgebras son la semántica algebraica de la lógica de Łukasiewicz ; las letras MV se refieren a la lógica multivaluada de Łukasiewicz . Las MV-álgebras coinciden con la clase de álgebras BCK conmutativas acotadas . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle 0}$

Definiciones

Un MV-álgebra es una estructura algebraica que consta de ${\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,}$

• un conjunto no vacío ${\displaystyle A,}$
• una operación binaria en ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle A,}$
• una operación unaria sobre y ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle A,}$
• una constante que denota un elemento fijo de ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A,}$

que satisface las siguientes identidades :

• ${\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),}$
• ${\displaystyle x\oplus 0=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus y=y\oplus x,}$
• ${\displaystyle \lnot \lnot x=x,}$
• ${\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0,}$y
• ${\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}$

En virtud de los tres primeros axiomas, es un monoide conmutativo . Al estar definidas por identidades, las MV-álgebras forman una variedad de álgebras. La variedad de MV-álgebras es una subvariedad de la variedad de BL -álgebras y contiene todas las álgebras de Boole . ${\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }$

Un álgebra MV se puede definir de manera equivalente ( Hájek 1998) como una red residual integral acotada conmutativa prelineal que satisface la identidad adicional ${\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }$ ${\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.}$

Ejemplos de álgebras MV

Un ejemplo numérico simple es con las operaciones y En lógica difusa matemática , esta MV-álgebra se denomina MV-álgebra estándar , ya que forma la semántica de valor real estándar de la lógica de Łukasiewicz . ${\displaystyle A=[0,1],}$ ${\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}$ ${\displaystyle \lnot x=1-x.}$

El álgebra MV trivial tiene como único elemento 0 y las operaciones definidas de la única manera posible, y ${\displaystyle 0\oplus 0=0}$ ${\displaystyle \lnot 0=0.}$

El álgebra MV de dos elementos es en realidad el álgebra de Boole de dos elementos que coincide con la disyunción de Boole y con la negación de Boole. De hecho, al añadir el axioma a los axiomas que definen un álgebra MV se obtiene una axiomatización de las álgebras de Boole. ${\displaystyle \{0,1\},}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle x\oplus x=x}$

Si en cambio el axioma añadido es , entonces los axiomas definen el álgebra MV ₃ correspondiente a la lógica de Łukasiewicz de tres valores Ł ₃ ^{[ cita requerida ]} . Otras MV-álgebras finitas ordenadas linealmente se obtienen restringiendo el universo y las operaciones del MV-álgebra estándar al conjunto de números reales equidistantes entre 0 y 1 (ambos incluidos), es decir, el conjunto que está cerrado bajo las operaciones y del MV-álgebra estándar; estas álgebras se denotan usualmente MV _n . ${\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \lnot }$

Otro ejemplo importante es el MV-álgebra de Chang , que consiste únicamente en infinitesimales (con el tipo de orden ω) y sus co-infinitesimales.

Chang también construyó un MV-álgebra a partir de un grupo abeliano totalmente ordenado arbitrario G fijando un elemento positivo u y definiendo el segmento [0, u ] como { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, que se convierte en un MV-álgebra con x ⊕ y = min( u , x + y ) y ¬ x = u − x . Además, Chang demostró que toda MV-álgebra ordenada linealmente es isomorfa a un MV-álgebra construida a partir de un grupo de esta manera.

Daniele Mundici extendió la construcción anterior a los grupos abelianos ordenados en red . Si G es un grupo con una unidad fuerte (de orden) u , entonces el "intervalo de unidad" { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } puede estar equipado con ¬ x = u − x , x ⊕ y = u ∧ _G (x + y), y x ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y − u ). Esta construcción establece una equivalencia categórica entre los grupos abelianos ordenados en red con una unidad fuerte y las MV-álgebras.

Un álgebra de efectos que está ordenada en red y tiene la propiedad de descomposición de Riesz es un álgebra de MV. Por el contrario, cualquier álgebra de MV es un álgebra de efectos ordenada en red con la propiedad de descomposición de Riesz. ^[1]

Relación con la lógica de Łukasiewicz

CC Chang ideó las MV-álgebras para estudiar la lógica multivaluada , introducidas por Jan Łukasiewicz en 1920. En particular, las MV-álgebras forman la semántica algebraica de la lógica de Łukasiewicz , como se describe a continuación.

Dada una MV-álgebra A , una A - valoración es un homomorfismo del álgebra de fórmulas proposicionales (en el lenguaje que consiste en y 0) en A . Las fórmulas mapeadas a 1 (es decir, a 0) para todas las A - valoraciones se denominan A - tautologías . Si se emplea la MV-álgebra estándar sobre [0,1], el conjunto de todas las [0,1]-tautologías determina la llamada lógica de Łukasiewicz de valor infinito . ${\displaystyle \oplus ,\lnot ,}$ ${\displaystyle \lnot }$

El teorema de completitud de Chang (1958, 1959) establece que cualquier ecuación de MV-álgebra que se cumpla en el MV-álgebra estándar en el intervalo [0,1] se cumplirá en cada MV-álgebra. Algebraicamente, esto significa que el MV-álgebra estándar genera la variedad de todas las MV-álgebras. De manera equivalente, el teorema de completitud de Chang dice que las MV-álgebras caracterizan la lógica de Łukasiewicz de valor infinito , definida como el conjunto de [0,1]-tautologías.

La forma en que el MV-álgebra [0,1] caracteriza todas las MV-álgebras posibles es paralela al hecho bien conocido de que las identidades que se cumplen en el álgebra de Boole de dos elementos se cumplen en todas las álgebras de Boole posibles. Además, las MV-álgebras caracterizan la lógica de Łukasiewicz de valor infinito de una manera análoga a la forma en que las álgebras de Boole caracterizan la lógica bivalente clásica (véase el álgebra de Lindenbaum–Tarski ).

En 1984, Font, Rodríguez y Torrens introdujeron el álgebra de Wajsberg como modelo alternativo para la lógica de Łukasiewicz de valor infinito. Las álgebras de Wajsberg y las álgebras MV son términos equivalentes. ^[2]

MVnorte-álgebras

En la década de 1940, Grigore Moisil introdujo sus álgebras de Łukasiewicz–Moisil (LM _n -álgebras) con la esperanza de proporcionar una semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz de n valores (finitos) . Sin embargo, en 1956, Alan Rose descubrió que para n ≥ 5, el álgebra de Łukasiewicz–Moisil no modela la lógica de Łukasiewicz de n valores. Aunque CC Chang publicó su MV-álgebra en 1958, es un modelo fiel solo para la lógica de Łukasiewicz–Tarski de ℵ ₀ valores (de infinitos valores) . Para las lógicas de Łukasiewicz axiomáticamente más complicadas (finitamente) con valores n , Revaz Grigolia publicó en 1977 álgebras adecuadas llamadas _n -álgebras MV. ^[3] _{Las n} -álgebras MV son una subclase de las _n -álgebras LM; la inclusión es estricta para n ≥ 5. ^[4]

Las _n -álgebras MV son MV-álgebras que satisfacen algunos axiomas adicionales, al igual que las lógicas de Łukasiewicz de valor n tienen axiomas adicionales agregados a la lógica de valor ℵ ₀ .

En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que, añadidas a las _n -álgebras LM, dan lugar a modelos propios para la lógica de Łukasiewicz de n valores; Cignoli llamó a su descubrimiento álgebras de Łukasiewicz de n valores propias . ^{[5] Las} _n -álgebras LM que también son _n -álgebras MV son precisamente las álgebras de Łukasiewicz de n valores propias de Cignoli . ^[6]

Relación con el análisis funcional

Daniele Mundici relacionó las álgebras MV con las álgebras C* de dimensión aproximadamente finita estableciendo una correspondencia biyectiva entre todas las clases de isomorfismo de las álgebras C* de dimensión aproximadamente finita con un grupo de dimensión ordenado en red y todas las clases de isomorfismo de las álgebras MV contables. Algunos ejemplos de esta correspondencia incluyen:

En software

Existen múltiples marcos que implementan la lógica difusa (tipo II), y la mayoría de ellos implementan lo que se ha denominado lógica multiadjunta . Esto no es más que la implementación de un álgebra MV.

Referencias

1. Foulis, DJ (1 de octubre de 2000). "Álgebras de efectos MV y Heyting". Fundamentos de la física . 30 (10): 1687–1706. Bibcode :2000FoPh...30.1687F. doi :10.1023/A:1026454318245. ISSN  1572-9516. S2CID  116763476.
2. "citando a JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens, "Wajsberg Algebras", Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2014-08-10 . Consultado el 2014-08-21 .
3. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas multivaluadas no conmutativas . Springer. págs. vii-viii. ISBN. 978-3-319-01589-7.
4. Iorgulescu, A.: Conexiones entre álgebras MV _n y álgebras Łukasiewicz–Moisil de valor n —I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) doi :10.1016/S0012-365X(97)00052-6
5. R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valores n adecuados como álgebras S de cálculos proposicionales con valores n de Łukasiewicz , Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi :10.1007/BF00373490
6. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2014. Consultado el 21 de agosto de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )

• Chang, CC (1958) "Análisis algebraico de lógicas multivaluadas", Transactions of the American Mathematical Society 88 : 476–490.
• ------ (1959) "Una nueva prueba de la completitud de los axiomas de Lukasiewicz", Transactions of the American Mathematical Society 88 : 74–80.
• Cignoli, RLO, D'Ottaviano, IML , Mundici, D. (2000) Fundamentos algebraicos del razonamiento multivaluado . Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Caracterización ecuacional de todas las variedades de MV-álgebras", Journal of Algebra 221 : 463–474 doi :10.1006/jabr.1999.7900.
• Hájek, Petr (1998) Metamatemáticas de la lógica difusa . Kluwer.
• Mundici, D.: Interpretación de las álgebras AF C* en el cálculo oracional de Łukasiewicz. J. Función. Anal. 65, 15–63 (1986) doi :10.1016/0022-1236(86)90015-7

Lectura adicional

• Daniele Mundici, MV-ÁLGEBRAS. Un breve tutorial
• D. Mundici (2011). Cálculo avanzado de Łukasiewicz y álgebras MV . Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
• Mundici, D. Las C*-álgebras de la lógica trivalente. Coloquio de lógica '88, Actas del coloquio celebrado en Padua 61–77 (1989). doi :10.1016/s0049-237x(08)70262-3
• Cabrer, LM y Mundici, D. Teorema de Stone-Weierstrass para álgebras MV y grupos ℓ unitarios. Journal of Logic and Computation (2014). doi :10.1093/logcom/exu023
• Olivia Caramello , Anna Carla Russo (2014) La equivalencia de Morita entre MV-álgebras y ℓ-grupos abelianos con unidad fuerte

Enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Lógica de múltiples valores", por Siegfried Gottwald .