Álgebra de Łukasiewicz-Moisil

Las álgebras de Łukasiewicz–Moisil ( álgebras LM _n ) fueron introducidas en la década de 1940 por Grigore Moisil (inicialmente bajo el nombre de álgebras de Łukasiewicz ^[1] ) con la esperanza de proporcionar semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz de valor n . Sin embargo, en 1956 Alan Rose descubrió que para n ≥ 5, el álgebra de Łukasiewicz–Moisil no modela la lógica de Łukasiewicz. Un modelo fiel para la lógica de Łukasiewicz-Tarski de valor ℵ ₀ (de valores infinitos) fue proporcionado por el álgebra MV de CC Chang , introducida en 1958. Para las lógicas de Łukasiewicz de valor n axiomáticamente más complicadas (finitas) , Revaz Grigolia publicó en 1977 álgebras adecuadas llamadas n -álgebras . ^[2] _{Las n} -álgebras MV son una subclase de _{las n} -álgebras LM , y la inclusión es estricta para n ≥ 5. ^[3] En 1982 Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que, añadidas a las _n -álgebras LM, producen modelos adecuados para la lógica de Łukasiewicz de valor n ; Cignoli llamó a su descubrimiento álgebras de Łukasiewicz adecuadas . ^[4]

Sin embargo, Moisil publicó en 1964 una lógica para que coincida con su álgebra (en el caso general n ≥ 5), ahora llamada lógica de Moisil . ^[2] Después de entrar en contacto con la lógica difusa de Zadeh , en 1968 Moisil también introdujo una variante de lógica de infinitos valores y sus correspondientes álgebras LM _θ . ^[5] Aunque la implicación de Łukasiewicz no se puede definir en un álgebra LM _n para n ≥ 5, la implicación de Heyting sí puede serlo, es decir, las álgebras LM _n son álgebras de Heyting ; como resultado, las lógicas de Moisil también se pueden desarrollar (desde un punto de vista puramente lógico) en el marco de la lógica intuicionista de Brower . ^[6]

Definición

Un álgebra LM _n es un álgebra de De Morgan (una noción también introducida por Moisil) con n -1 operaciones unarias "modales" adicionales: , es decir, un álgebra de signatura donde J = { 1, 2, ... n -1 }. (Algunas fuentes denotan los operadores adicionales como para enfatizar que dependen del orden n del álgebra. ^[7] ) Los operadores unarios adicionales ∇ _j deben satisfacer los siguientes axiomas para todos x , y ∈ A y j , k ∈ J : ^[3] ${\displaystyle \nabla _{1},\ldots ,\nabla _{n-1}}$ ${\displaystyle (A,\vee ,\wedge ,\neg ,\nabla _{j\in J},0,1)}$ ${\displaystyle \nabla _{j\in J}^{n}}$

1. ${\displaystyle \nabla _{j}(x\vee y)=(\nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)}$
2. ${\displaystyle \nabla _{j}\;x\vee \neg \nabla _{j}\;x=1}$
3. ${\displaystyle \nabla _{j}(\nabla _{k}\;x)=\nabla _{k}\;x}$
4. ${\displaystyle \nabla _{j}\neg x=\neg \nabla _{n-j}\;x}$
5. ${\displaystyle \nabla _{1}\;x\leq \nabla _{2}\;x\cdots \leq \nabla _{n-1}\;x}$
6. si para todo j ∈ J , entonces x = y . ${\displaystyle \nabla _{j}\;x=\nabla _{j}\;y}$

(El adjetivo "modal" está relacionado con el programa [finalmente fallido] de Tarks y Łukasiewicz para axiomatizar la lógica modal utilizando lógica multivaluada.)

Propiedades elementales

Los duales de algunos de los axiomas anteriores se deducen como propiedades: ^[3]

• ${\displaystyle \nabla _{j}(x\wedge y)=(\nabla _{j}\;x)\wedge (\nabla _{j}\;y)}$
• ${\displaystyle \nabla _{j}\;x\wedge \neg \nabla _{j}\;x=0}$

Además: y . ^[3] En otras palabras, las operaciones "modales" unarias son endomorfismos reticulares . ^[6] ${\displaystyle \nabla _{j}\;0=0}$ ${\displaystyle \nabla _{j}\;1=1}$ ${\displaystyle \nabla _{j}}$

Ejemplos

Las álgebras LM ₂ son las álgebras de Boole . Las álgebras canónicas de Łukasiewicz que Moisil tenía en mente eran sobre el conjunto con conjunción y disyunción de negación y los operadores "modales" unarios: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=\{0,\ {\frac {1}{n-1}},{\frac {2}{n-1}},...,{\frac {n-2}{n-1}}\ ,1\}}$ ${\displaystyle \neg x=1-x}$ ${\displaystyle x\wedge y=\min\{x,y\}}$ ${\displaystyle x\vee y=\max\{x,y\}}$

${\displaystyle \nabla _{j}\left({\frac {i}{n-1}}\right)=\;{\begin{cases}0&{\mbox{if }}i+j<n\\1&{\mbox{if }}i+j\geq n\\\end{cases}}\quad i\in \{0\}\cup J,\;j\in J.}$

Si B es un álgebra de Boole, entonces el álgebra sobre el conjunto B ^[2] ≝ {( x , y ) ∈ B × B | x ≤ y } con las operaciones reticulares definidas puntualmente y con ¬( x , y ) ≝ (¬ y , ¬ x ), y con los operadores "modales" unarios ∇ ₂ ( x , y ) ≝ ( y , y ) y ∇ ₁ ( x , y ) = ¬∇ ₂ ¬( x , y ) = ( x , x ) [derivada por el axioma 4] es un álgebra de Łukasiewicz de tres valores. ^[7]

Representación

Moisil demostró que cada álgebra LM _n puede estar incluida en un producto directo (de copias) del álgebra canónica. Como corolario, cada álgebra LM _n es un subproducto directo de subálgebras de . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}}$

La implicación de Heyting se puede definir como: ^[6]

${\displaystyle x\Rightarrow y\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;y\vee \bigwedge _{j\in J}(\neg \nabla _{j}\;x)\vee (\nabla _{j}\;y)}$

Antonio Monteiro demostró que para cada álgebra booleana monádica se puede construir un álgebra de Łukasiewicz trivalente (tomando ciertas clases de equivalencia) y que cualquier álgebra de Łukasiewicz trivalente es isomorfa a un álgebra de Łukasiewicz derivada así de un álgebra booleana monádica. ^{[7] [8]} Cignoli resume la importancia de este resultado como: "Dado que Halmos demostró que las álgebras booleanas monádicas son la contraparte algebraica del cálculo monádico clásico de primer orden, Monteiro consideró que la representación de álgebras de Łukasiewicz de tres valores en álgebras booleanas monádicas da una prueba de la consistencia de la lógica de tres valores de Łukasiewicz en relación con la lógica clásica". ^[7]

Referencias

1. Andrei Popescu, Álgebras de relaciones de Łukasiewicz-Moisil , Studia Logica , vol. 81, núm. 2 (noviembre de 2005), págs. 167-189
2. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas multivaluadas no conmutativas . Springer. págs. vii-viii. ISBN 978-3-319-01589-7.
3. Iorgulescu, A.: Conexiones entre álgebras MV _n y álgebras Łukasiewicz-Moisil de valor n —I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) doi :10.1016/S0012-365X(97)00052-6
4. R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valores n adecuados como álgebras S de cálculos proposicionales con valores n de Łukasiewicz , Studia Logica, 41, 1982, 3–16, doi :10.1007/BF00373490
5. Georgescu, G., Iourgulescu, A., Rudeanu, S.: "Grigore C. Moisil (1906–1973) y su escuela de lógica algebraica". Revista internacional de informática, comunicaciones y control 1, 81–99 (2006)
6. Georgescu, G. (2006). "Lógicas N-valuadas y álgebras de Łukasiewicz–Moisil". Axiomathes . 16 (1–2): 123–136. doi :10.1007/s10516-005-4145-6., Teorema 3.6
7. Cignoli, R., "Las álgebras de la lógica polivalente de Lukasiewicz - Una reseña histórica", en S. Aguzzoli et al. (Eds.), Aspectos algebraicos y teóricos de la prueba de las lógicas no clásicas, LNAI 4460, Springer, 2007, 69-83. doi :10.1007/978-3-540-75939-3_5
8. Monteiro, António "Sur les algèbres de Heyting symétriques". Portugaliae Mathematica 39.1–4 (1980): 1–237. Capítulo 7. págs. 204-206

Lectura adicional

• Raymond Balbes; Philip Dwinger (1975). Redes distributivas . University of Missouri Press. Capítulo IX. Álgebras de De Morgan y Álgebras de Lukasiewicz. ISBN 978-0-8262-0163-8.
• Boicescu, V., Filipoiu, A., Georgescu, G., Rudeanu, S.: Łukasiewicz-Moisil Algebras. Holanda Septentrional, Ámsterdam (1991) ISBN 0080867898 
• Iorgulescu, A.: Conexiones entre álgebras MV _n y álgebras Łukasiewicz–Moisil de valor n —II. Matemáticas discretas. 202, 113–134 (1999) doi :10.1016/S0012-365X(98)00289-1
• Iorgulescu, A.: Conexiones entre _n -álgebras de MV y Łukasiewicz-Moisil—III con valores n . Manuscrito inédito
• Iorgulescu, A.: Conexiones entre álgebras MV _n y álgebras Łukasiewicz–Moisil de valor n —IV. J. Univers. Comput. Sci. 6, 139–154 (2000) doi :10.3217/jucs-006-01-0139
• R. Cignoli, Álgebras de Moisil de orden n, Ph.D. Tesis, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, 1969
• http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ndjfl/1093635424