Grupo ordenado linealmente

Grupo con orden total invariante traslacionalmente; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo linealmente ordenado o totalmente ordenado es un grupo G dotado de un orden total "≤" que es invariante en la traslación . Esto puede tener diferentes significados. Decimos que ( G , ≤) es:

• grupo ordenado por la izquierda si ≤ es invariante por la izquierda, es decir a  ≤  b implica ca  ≤  cb para todos a ,  b ,  c en G ,
• grupo ordenado a la derecha si ≤ es invariante a la derecha, es decir a  ≤  b implica ac  ≤  bc para todos a ,  b ,  c en G ,
• grupo biordenado si ≤ es biinvariante, es decir, es invariante tanto a la izquierda como a la derecha.

Se dice que un grupo G es ordenable por la izquierda (o por la derecha o biordenable ) si existe un orden invariante por la izquierda (o por la derecha o biordenable) en G. Una condición necesaria simple para que un grupo sea ordenable por la izquierda es que no tenga elementos de orden finito; sin embargo, esta no es una condición suficiente. Es equivalente que un grupo sea ordenable por la izquierda o por la derecha; sin embargo, existen grupos ordenables por la izquierda que no son biordenables.

Otras definiciones

En esta sección se presenta un orden invariante por la izquierda en un grupo con elemento identidad . Todo lo que se dice se aplica a los órdenes invariantes por la derecha con las modificaciones obvias. Nótese que ser invariante por la izquierda es equivalente al orden definido por si y solo si es invariante por la derecha. En particular, que un grupo sea ordenable por la izquierda es lo mismo que que sea ordenable por la derecha. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq '}$ ${\displaystyle g\leq 'h}$ ${\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}$

En analogía con los números ordinarios, llamamos positivo a un elemento de un grupo ordenado si . El conjunto de elementos positivos en un grupo ordenado se llama cono positivo , a menudo se denota con ; la notación ligeramente diferente se utiliza para el cono positivo junto con el elemento identidad. ^[1] ${\displaystyle g\not =e}$ ${\displaystyle e\leq g}$ ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle G^{+}}$

El cono positivo caracteriza el orden ; de hecho, por invariancia por la izquierda vemos que si y solo si . De hecho, un grupo ordenado por la izquierda se puede definir como un grupo junto con un subconjunto que satisface las dos condiciones que: ${\displaystyle G_{+}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle g\leq h}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. porque también tenemos ; ${\displaystyle g,h\in P}$ ${\displaystyle gh\in P}$
2. sea ​​, entonces es la unión disjunta de y . ${\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P,P^{-1}}$ ${\displaystyle \{e\}}$

El orden asociado con se define por ; la primera condición equivale a invariancia por la izquierda y la segunda a que el orden esté bien definido y sea total. El cono positivo de es . ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle P}$

El orden invariante por la izquierda es biinvariante si y solo si es invariante por conjugación, es decir, si entonces para cualquier tenemos también. Esto es equivalente a que el cono positivo sea estable bajo automorfismos internos . ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle g\leq h}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}$

Si ^{[ cita necesaria ]} , entonces el valor absoluto de , denotado por , se define como: Si además el grupo es abeliano , entonces para cualquier desigualdad triangular se satisface: . ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|}$ $${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$

Ejemplos

Cualquier grupo ordenable por la izquierda o por la derecha es libre de torsión , es decir, no contiene elementos de orden finito además de la identidad. Por el contrario, F. W. Levi demostró que un grupo abeliano libre de torsión es biordenable; ^[2] esto sigue siendo cierto para los grupos nilpotentes ^[3] pero existen grupos libres de torsión, finitamente presentados , que no son ordenables por la izquierda.

Grupos ordenados de Arquímedes

Otto Hölder demostró que todo grupo arquimediano (un grupo biordenado que satisface una propiedad arquimediana ) es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de números reales , (Fuchs y Salce 2001, p. 61). Si escribimos el grupo lo de Arquímedes de forma multiplicativa, esto se puede demostrar considerando la compleción de Dedekind , del cierre de un grupo lo bajo las raíces th. Dotamos a este espacio de la topología habitual de un orden lineal, y luego se puede demostrar que para cada uno de los mapas exponenciales son isomorfismos de grupo topológicos que preservan/invierten el orden bien definidos . Completar un grupo lo puede ser difícil en el caso no arquimediano. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su rango : que está relacionado con el tipo de orden de la secuencia más grande de subgrupos convexos. ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\in {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}$

Otros ejemplos

Los grupos libres son ordenables por la izquierda. En términos más generales, este también es el caso de los grupos Artin de ángulo recto . ^[4] Los grupos Braid también son ordenables por la izquierda. ^[5]

El grupo dado por la presentación es libre de torsión pero no ordenable por la izquierda; ^{[6] nótese que es un} grupo cristalográfico tridimensional (puede realizarse como el grupo generado por dos semivueltas deslizantes con ejes ortogonales y la misma longitud de traslación), y es el mismo grupo que se demostró que era un contraejemplo de la conjetura de la unidad . De manera más general, el tema de la ordenabilidad de los grupos de 3 variedades es interesante por su relación con varios invariantes topológicos. ^[7] Existe un grupo de 3 variedades que es ordenable por la izquierda pero no biordenable ^[8] (de hecho, no satisface la propiedad más débil de ser localmente indicable). ${\displaystyle \langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle }$

Los grupos ordenables por la izquierda también han atraído interés desde la perspectiva de los sistemas dinámicos , ya que se sabe que un grupo contable es ordenable por la izquierda si y solo si actúa sobre la línea real por homeomorfismos. ^[9] Los no ejemplos relacionados con este paradigma son las redes en grupos de Lie de rango superior ; se sabe que (por ejemplo) los subgrupos de índice finito en no son ordenables por la izquierda; ^[10] recientemente se ha anunciado una amplia generalización de esto. ^[11] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$

Véase también

• Grupo ordenado cíclicamente
• Teorema de incrustación de Hahn
• Grupo parcialmente ordenado

Notas

1. Deroin, Navas y Rivas 2014, 1.1.1.
2. Leví 1942.
3. Deroin, Navas y Rivas 2014, 1.2.1.
4. Duchamp, Gérard; Thibon, Jean-Yves (1992). "Ordenamientos simples para grupos parcialmente conmutativos libres". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 2 (3): 351–355. doi :10.1142/S0218196792000219. Zbl  0772.20017.
5. Dehornoy, Patricio; Dynnikov, Iván; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2002). ¿Por qué se pueden pedir las trenzas? . París: Société Mathématique de France. pag. xiii + 190. ISBN 2-85629-135-X.
6. Deroin, Navas y Rivas 2014, 1.4.1.
7. Boyer, Steven; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2005). "Grupos de 3 colectores que se pueden ordenar". Anales del Instituto Fourier . 55 (1): 243–288. arXiv : matemáticas/0211110 . doi : 10.5802/aif.2098 . Zbl  1068.57001.
8. Bergman, George (1991). "Grupos ordenables por la derecha que no son localmente indicables". Pacific Journal of Mathematics . 147 (2): 243–248. doi : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Zbl  0677.06007.
9. Deroin, Navas y Rivas 2014, Proposición 1.1.8.
10. Witte, Dave (1994). "Los grupos aritméticos de rango superior \(\mathbb{Q}\) no pueden actuar sobre variedades \(1\)". Actas de la American Mathematical Society . 122 (2): 333–340. doi :10.2307/2161021. JSTOR  2161021. Zbl  0818.22006.
11. Deroin, Bertrand; Hurtado, Sebastian (2020). "No ordenabilidad por la izquierda de redes en grupos de Lie semisimples de rango superior". arXiv : 2008.10687 [math.GT].

Referencias

• Deroin, Bertrand; Navas, Andrés; Rivas, Cristóbal (2014). "Grupos, órdenes y dinámicas". arXiv : 1408.5805 [matemáticas.GT].
• Levi, FW (1942), "Grupos ordenados", Proc. Indian Acad. Sci. , A16 (4): 256–263, doi :10.1007/BF03174799, S2CID  198139979
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, Sr.  1794715
• Ghys, É. (2001), "Grupos que actúan en el círculo", L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407