Álgebra BCK

En matemáticas, las álgebras BCI y BCK son estructuras algebraicas en el álgebra universal , que fueron introducidas por Y. Imai, K. Iséki y S. Tanaka en 1966, que describen fragmentos del cálculo proposicional que involucran implicaciones conocidas como lógicas BCI y BCK.

Definición

Álgebra BCI

Un álgebra (en el sentido de álgebra universal) de tipo se denomina álgebra BCI si, para cualquier , satisface las siguientes condiciones. (Informalmente, podemos leer como "verdad" y como " implica "). ${\displaystyle \left(X;\ast ,0\right)}$ ${\displaystyle \left(2,0\right)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\ast y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

BCI-1

${\displaystyle \left(\left(x\ast y\right)\ast \left(x\ast z\right)\right)\ast \left(z\ast y\right)=0}$

BCI-2

${\displaystyle \left(x\ast \left(x\ast y\right)\right)\ast y=0}$

BCI-3

${\displaystyle x\ast x=0}$

BCI-4

${\displaystyle x\ast y=0\land y\ast x=0\implies x=y}$

BCI-5

${\displaystyle x\ast 0=0\implies x=0}$

Álgebra BCK

Un álgebra BCI se denomina álgebra BCK si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle \left(X;\ast ,0\right)}$

BCK-1

${\displaystyle \forall x\in X:0\ast x=0.}$

Un orden parcial puede entonces definirse como x ≤ y solo si x * y = 0.

Se dice que un álgebra BCK es conmutativa si satisface:

${\displaystyle x\ast (x\ast y)=y\ast (y\ast x)}$

En un álgebra BCK conmutativa x * ( x * y ) = x ∧ y es el límite inferior máximo de x e y bajo el orden parcial ≤.

Se dice que un álgebra BCK está acotada si tiene un elemento más grande, generalmente denotado por 1. En un álgebra BCK conmutativa acotada, el límite superior mínimo de dos elementos satisface x ∨ y = 1 * ((1 * x ) ∧ (1 * y )); eso la convierte en una red distributiva .

Ejemplos

Cada grupo abeliano es un álgebra BCI, con * definido como la resta del grupo y 0 definido como la identidad del grupo.

Los subconjuntos de un conjunto forman un álgebra BCK, donde A*B es la diferencia A\B (los elementos en A pero no en B), y 0 es el conjunto vacío .

Un álgebra de Boole es un álgebra BCK si A * B se define como A ∧¬ B ( A no implica B ).

Las BCK-álgebras conmutativas acotadas son precisamente las MV-álgebras .

Referencias

• Angell, RB (1970), "Revisión de varios artículos sobre BCI, BCK-Álgebras", The Journal of Symbolic Logic , 35 (3): 465–466, doi :10.2307/2270728, ISSN  0022-4812, JSTOR  2270728
• Arai, Yoshinari; Iséki, Kiyoshi; Tanaka, Shôtarô (1966), "Caracterizaciones de BCI, álgebras BCK", Proc. Académico de Japón. , 42 (2): 105–107, doi : 10.3792/pja/1195522126 , SEÑOR  0202572
• Hoo, CS (2001) [1994], "Álgebra BCH", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hoo, CS (2001) [1994], "Álgebra BCI", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hoo, CS (2001) [1994], "Álgebra BCK", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Iséki, K.; Tanaka, S. (1978), "Introducción a la teoría de las álgebras BCK", Math. Japon. , 23 : 1–26
• Y. Huang, BCI-álgebra , Science Press, Pekín, 2006.
• Imai, Y.; Iséki, K (1966), "Sobre sistemas axiomáticos de cálculos proposicionales, XIV", Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. , 42 : 19–22, doi : 10.3792/pja/1195522169
• Iséki, K. (1966), "Un álgebra relacionada con un cálculo proposicional", Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. , 42 : 26–29, doi : 10.3792/pja/1195522171