Lógica de Łukasiewicz

En matemáticas y filosofía , la lógica de Łukasiewicz ( en polaco : [ wukaˈɕɛvitʂ ] ) es una lógica polivalente no clásica . Fue definida originalmente a principios del siglo XX por Jan Łukasiewicz como una lógica modal trivalente ; [ 1 ] ^más tarde se generalizó a variantes polivalentes ( para todo n finito ) así como polivalentes ( ℵ ), tanto proposicionales como de primer orden . ^[2] La versión _polivalente fue publicada en 1930 por Łukasiewicz y Alfred Tarski ; en consecuencia, a veces se la denomina lógica de Łukasiewicz- Tarski . ^[3] Pertenece a las clases de lógicas difusas de norma t ^[4] y lógicas subestructurales . ^[5]

La lógica de Łukasiewicz se inspiró en la idea de Aristóteles de que la lógica bivalente no era aplicable a los contingentes futuros, como por ejemplo la afirmación "mañana habrá una batalla naval". En otras palabras, las afirmaciones sobre el futuro no eran ni verdaderas ni falsas, pero se les podía asignar un valor intermedio para representar su posibilidad de convertirse en verdaderas en el futuro.

En este artículo se presenta la lógica de Łukasiewicz(–Tarski) en su generalidad completa, es decir, como una lógica de valores infinitos. Para una introducción elemental a la instanciación de tres valores Ł ₃ , véase lógica de tres valores .

Idioma

Los conectores proposicionales de la lógica de Łukasiewicz son ("implicación") y la constante ("falso"). Se pueden definir conectores adicionales en términos de estos: ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \bot }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A&=_{def}A\rightarrow \bot \\A\vee B&=_{def}(A\rightarrow B)\rightarrow B\\A\wedge B&=_{def}\neg (\neg A\vee \neg B)\\A\leftrightarrow B&=_{def}(A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)\\\top &=_{def}\bot \rightarrow \bot \end{aligned}}}$

Los conectivos y se denominan disyunción y conjunción débiles , porque no son clásicos, ya que la ley del tercero excluido no se cumple para ellos. En el contexto de la lógica subestructural, se denominan conectivos aditivos . También corresponden a los conectivos de red mín/máx. ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$

En términos de lógicas subestructurales , también existen conectivos de disyunción y conjunción fuertes o multiplicativos , aunque estos no son parte de la presentación original de Łukasiewicz:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\oplus B&=_{def}\neg A\rightarrow B\\A\otimes B&=_{def}\neg (A\rightarrow \neg B)\end{aligned}}}$

También hay operadores modales definidos, utilizando la Möglichkeit de Tarski :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\end{aligned}}}$

Axiomas

El sistema original de axiomas para la lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito utilizaba la implicación y la negación como conectivos primitivos, junto con el modus ponens :

${\displaystyle {\begin{aligned}A&\rightarrow (B\rightarrow A)\\(A\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\((A\rightarrow B)\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)\\(\neg B\rightarrow \neg A)&\rightarrow (A\rightarrow B).\end{aligned}}}$

La lógica de Łukasiewicz proposicional de valor infinito también se puede axiomatizar añadiendo los siguientes axiomas al sistema axiomático de la lógica t-norma monoidal :

Divisibilidad

${\displaystyle (A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))}$

Doble negación

${\displaystyle \neg \neg A\rightarrow A.}$

Es decir, la lógica de Łukasiewicz de valor infinito surge añadiendo el axioma de doble negación a la lógica difusa básica (BL), o añadiendo el axioma de divisibilidad a la lógica IMTL.

Las lógicas de Łukasiewicz de valores finitos requieren axiomas adicionales.

Teoría de la prueba

Arnon Avron introdujo en 1991 un cálculo hipersecuente para la lógica de Łukasiewicz de tres valores ^{. [6]}

Los cálculos secuenciales para lógicas de Łukasiewicz de valores finitos e infinitos como una extensión de la lógica lineal fueron introducidos por A. Prijatelj en 1994. ^[7] Sin embargo, estos no son sistemas libres de cortes .

Los cálculos hipersecuentes para las lógicas de Łukasiewicz fueron introducidos por A. Ciabattoni et al en 1999. ^[8] Sin embargo, estos no están libres de cortes para las lógicas de valores finitos. ${\displaystyle n>3}$

Nicola Olivetti introdujo en 2003 un sistema de cuadros etiquetados ^{. [9]}

George Metcalfe introdujo en 2004 un cálculo hipersecuente para la lógica de Łukasiewicz de valor infinito. ^[10]

Semántica de valor real

La lógica de Łukasiewicz de valor infinito es una lógica de valor real en la que a las oraciones del cálculo proposicional se les puede asignar un valor de verdad no solo de 0 o 1 sino también de cualquier número real intermedio (por ejemplo, 0,25). Las valoraciones tienen una definición recursiva donde:

• ${\displaystyle w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))}$para un conectivo binario ${\displaystyle \circ ,}$
• ${\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta )),}$
• ${\displaystyle w\left({\overline {0}}\right)=0}$y ${\displaystyle w\left({\overline {1}}\right)=1,}$

y donde las definiciones de las operaciones son las siguientes:

• Implicación: ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}$
• Equivalencia: ${\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}$
• Negación: ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• Conjunción débil: ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}}$
• Disyunción débil: ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}}$
• Conjunción fuerte: ${\displaystyle F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}}$
• Disyunción fuerte: ${\displaystyle F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.}$
• Funciones modales : ${\displaystyle F_{\Diamond }(x)=\min\{1,2x\},F_{\Box }(x)=\max\{0,2x-1\}}$

La función de verdad de la conjunción fuerte es la t-norma de Łukasiewicz y la función de verdad de la disyunción fuerte es su t-conorma dual . Obviamente, y , por lo que si , entonces mientras que las respectivas proposiciones lógicamente equivalentes tienen . ${\displaystyle F_{\otimes }}$ ${\displaystyle F_{\oplus }}$ ${\displaystyle F_{\otimes }(.5,.5)=0}$ ${\displaystyle F_{\oplus }(.5,.5)=1}$ ${\displaystyle T(p)=.5}$ ${\displaystyle T(p\wedge p)=T(\neg p\wedge \neg p)=0}$ ${\displaystyle T(p\vee p)=T(\neg p\vee \neg p)=1}$

La función de verdad es el residuo de la norma t de Łukasiewicz. Todas las funciones de verdad de los conectivos básicos son continuas. ${\displaystyle F_{\rightarrow }}$

Por definición, una fórmula es una tautología de la lógica de Łukasiewicz de valor infinito si evalúa a 1 bajo cada valoración de variables proposicionales por números reales en el intervalo [0, 1].

Semántica de valores finitos y de valores contables

Utilizando exactamente las mismas fórmulas de valoración que para la semántica de valor real, Łukasiewicz (1922) también definió (hasta el isomorfismo) la semántica sobre

• cualquier conjunto finito de cardinalidad n ≥ 2 eligiendo el dominio como { 0, 1/( n − 1), 2/( n − 1), ..., 1 }
• cualquier conjunto contable eligiendo el dominio como { p / q | 0 ≤ p ≤ q donde p es un entero no negativo y q es un entero positivo }.

Semántica algebraica general

La semántica estándar de valores reales determinada por la norma t de Łukasiewicz no es la única semántica posible de la lógica de Łukasiewicz. La semántica algebraica general de la lógica proposicional de Łukasiewicz de valores infinitos está formada por la clase de todas las MV-álgebras . La semántica estándar de valores reales es un MV-álgebra especial, llamada MV-álgebra estándar .

Al igual que otras lógicas difusas de norma t , la lógica de Łukasiewicz proposicional de valor infinito goza de completitud con respecto a la clase de todas las álgebras para las que la lógica es válida (es decir, las MV-álgebras), así como con respecto únicamente a las lineales. Esto se expresa mediante los teoremas de completitud general, lineal y estándar: ^[4]

Las siguientes condiciones son equivalentes:

• ${\displaystyle A}$es demostrable en la lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito
• ${\displaystyle A}$es válido en todas las MV-álgebras ( completitud general )
• ${\displaystyle A}$es válido en todas las MV-álgebras ordenadas linealmente ( completitud lineal )
• ${\displaystyle A}$es válido en el álgebra MV estándar ( completitud estándar ).

Aquí válido significa que necesariamente se evalúa como 1 .

Font, Rodríguez y Torrens introdujeron en 1984 el álgebra de Wajsberg como modelo alternativo para la lógica de Łukasiewicz de valor infinito. ^[11]

Un intento de Grigore Moisil en los años 1940 de proporcionar semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz de valor n mediante su álgebra de Łukasiewicz–Moisil (LM) (a la que Moisil llamó álgebras de Łukasiewicz ) resultó ser un modelo incorrecto para n ≥ 5. Este problema fue hecho público por Alan Rose en 1956. El MV-álgebra de CC Chang , que es un modelo para la lógica de Łukasiewicz–Tarski de valor ℵ ₀ (de infinitos valores), fue publicada en 1958. Para las lógicas de Łukasiewicz de valor n axiomáticamente más complicadas (finitas) , álgebras adecuadas fueron publicadas en 1977 por Revaz Grigolia y llamadas MV _n -álgebras. ^[12] _{Las n} -álgebras MV son una subclase de _{las n} -álgebras LM, y la inclusión es estricta para n ≥ 5. ^[13] En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que, añadidas a las _n -álgebras LM, producen modelos adecuados para la lógica de Łukasiewicz de valor n ; Cignoli llamó a su descubrimiento álgebras de Łukasiewicz adecuadas . ^[14]

Complejidad

Las lógicas de Łukasiewicz son co-NP completas . ^[15]

Lógica modal

Las lógicas de Łukasiewicz pueden verse como lógicas modales , un tipo de lógica que aborda la posibilidad, ^[16] utilizando los operadores definidos,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\\\end{aligned}}}$

Se ha propuesto un tercer operador dudoso , . ^[17] ${\displaystyle \odot A=_{def}A\leftrightarrow \neg A}$

A partir de estos podemos demostrar los siguientes teoremas, que son axiomas comunes en muchas lógicas modales :

${\displaystyle {\begin{aligned}A&\rightarrow \Diamond A\\\Box A&\rightarrow A\\A&\rightarrow (A\rightarrow \Box A)\\\Box (A\rightarrow B)&\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)\\\Box (A\rightarrow B)&\rightarrow (\Diamond A\rightarrow \Diamond B)\\\end{aligned}}}$

También podemos demostrar teoremas de distribución sobre los conectivos fuertes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box (A\otimes B)&\leftrightarrow \Box A\otimes \Box B\\\Diamond (A\oplus B)&\leftrightarrow \Diamond A\oplus \Diamond B\\\Diamond (A\otimes B)&\rightarrow \Diamond A\otimes \Diamond B\\\Box A\oplus \Box B&\rightarrow \Box (A\oplus B)\end{aligned}}}$

Sin embargo, también se cumplen los siguientes teoremas de distribución:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box A\vee \Box B&\leftrightarrow \Box (A\vee B)\\\Box A\wedge \Box B&\leftrightarrow \Box (A\wedge B)\\\Diamond A\vee \Diamond B&\leftrightarrow \Diamond (A\vee B)\\\Diamond A\wedge \Diamond B&\leftrightarrow \Diamond (A\wedge B)\end{aligned}}}$

En otras palabras, si , entonces , lo cual es contra-intuitivo. ^{[18] [19]} Sin embargo, estos teoremas controversiales han sido defendidos como una lógica modal sobre contingentes futuros por AN Prior . ^[20] En particular, . ${\displaystyle \Diamond A\wedge \Diamond \neg A}$ ${\displaystyle \Diamond (A\wedge \neg A)}$ ${\displaystyle \Diamond A\wedge \Diamond \neg A\leftrightarrow \odot A}$

Referencias

1. Łukasiewicz J., 1920, O logice trójwartościowej (en polaco). Ruch filozoficzny 5 :170–171. Traducción al inglés: Sobre la lógica de tres valores, en L. Borkowski (ed.), Obras seleccionadas de Jan Łukasiewicz , Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1970, págs. ISBN  0-7204-2252-3
2. Hay, LS, 1963, Axiomatización del cálculo de predicados de valor infinito. Journal of Symbolic Logic 28 :77–86.
3. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas multivaluadas no conmutativas . Springer. pág. vii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando a Łukasiewicz, J., Tarski, A.: Untersuchungen über den Aussagenkalkül. comp. Desgarrar. Soc. Ciencia. et Lettres Varsovie Cl. III 23, 30-50 (1930).
4. Hájek P. , 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer.
5. Ono, H., 2003, "Lógicas subestructurales y redes residuales: una introducción". En FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Tendencias en lógica: 50 años de Studia Logica, Tendencias en lógica 20 : 177–212.
6. A. Avron, "Lógicas naturales de 3 valores: caracterización y teoría de la prueba", Journal of Symbolic Logic 56(1), doi:10.2307/2274919
7. A. Prijateli, "Contracción limitada y formulación al estilo Gentzen de las lógicas de Łukasiewicz", Studia Logica 57: 437-456, 1996
8. A. Ciabattoni, DM Gabbay, N. Olivetti, "Sistemas de prueba sin cortes para lógicas de medio excluido débil" Soft Computing 2 (1999) 147—156
9. N. Olivetti, "Cuadros para la lógica de valores infinitos de Łukasiewicz", Studia Logica volumen 73, páginas 81-111 (2003)
10. D. Gabbay y G. Metcalfe y N. Olivetti, "Hipersecuentes y lógica difusa", Revista de la Real Academia de Ciencias 98 (1), páginas 113-126 (2004).
11. http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf citando a JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens, Álgebras de Wajsberg, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984
12. Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas multivaluadas no conmutativas . Springer. págs. vii-viii. ISBN. 978-3-319-01589-7.citando a Grigolia, RS: "Análisis algebraico de los sistemas lógicos n-valuados de Lukasiewicz-Tarski". En: Wójcicki, R., Malinkowski, G. (eds.) Selected Papers on Lukasiewicz Sentential Calculi, pp. 81–92. Academia Polaca de Ciencias, Wroclav (1977)
13. Iorgulescu, A.: Conexiones entre álgebras MV _n y álgebras de Łukasiewicz–Moisil con valores n. Parte I. Matemáticas discretas 181, 155–177 (1998) doi :10.1016/S0012-365X(97)00052-6
14. R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valores n adecuados como álgebras S de cálculos proposicionales con valores n de Łukasiewicz , Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi :10.1007/BF00373490
15. A. Ciabattoni, M. Bongini y F. Montagna, Búsqueda de pruebas y completitud Co-NP para lógicas multivaluadas. Conjuntos y sistemas difusos .
16. "Lógica modal: visión contemporánea | Enciclopedia de filosofía en Internet" . Consultado el 3 de mayo de 2024 .
17. Clarence Irving Lewis y Cooper Harold Langford. Lógica simbólica. Dover, Nueva York, segunda edición, 1959.
18. Robert Bull y Krister Segerberg. Lógica modal básica. En Dov M. Gabbay y Franz Guenthner, editores, Handbook of Philosophical Logic, volumen 2. D. Reidel Publishing Company, Lancaster, 1986
19. Alasdair Urquhart . Una interpretación de la lógica multivaluada. Zeitschr. F. matemáticas. Logik und Grundlagen d. Matemáticas, 19:111–114, 1973.
20. AN Prior. Lógica trivalente y contingentes futuros. 3(13):317–26, octubre de 1953.

Lectura adicional

• Rose, A.: 1956, Formalization du Calcul Propositionnel Implicatif ℵ ₀ Valeurs de Łukasiewicz, CR Acad. Ciencia. París 243, 1183-1185.
• Rose, A.: 1978, Formalizaciones de cálculos proposicionales de Łukasiewicz con valores ℵ ₀ adicionales , Journal of Symbolic Logic 43(2), 207–210. doi :10.2307/2272818
• Cignoli, R., “Las álgebras de la lógica polivalente de Lukasiewicz: una reseña histórica”, en S. Aguzzoli et al. (Eds.), Aspectos algebraicos y teóricos de la prueba de las lógicas no clásicas, LNAI 4460, Springer, 2007, 69-83. doi :10.1007/978-3-540-75939-3_5