Gröbner nació en Tirol del Sur y asistió al Internado jesuita de Feldkirch.
Primero trabajó en la oficina editorial de la Fortschritt der Mathematik en Berlín y se convirtió en profesor asociado en Viena en 1941.
No tomó su cátedra asociada en Viena después de la guerra.
Como no había sido miembro del NSDAP, se le consideraba libre de cargas.
En 1947 Gröbner se convirtió en profesor en Innsbruck, cargo que ocupó hasta su jubilación en 1970.