El principio de relatividad especial es un principio de simetría que dice que las leyes físicas deben ser invariantes ante todas aquellas transformaciones de coordenadas que no cambian la métrica de Minkowski.
Esta dice que las leyes físicas deben ser invariantes ante cualquier transformación de coordenadas en general.
Por eso, para pasar de la descripción "especial" a la "general", hay que considerar cómo transforman en general los objetos de la teoría física de interés (e.g.
El ejemplo más común es estudiar cómo generalizar leyes físicas enunciadas en ecuaciones diferenciales del espacio-tiempo.
Cuando las transformaciones de coordenadas no son lineales, las derivadas recién mencionadas no transforman linealmente.
Veamos el ejemplo del electromagnetismo explícitamente.
Las ecuaciones de Maxwell escritas en forma covariante son:
es el tensor anti-simétrico del campo electromagnético,
Desde el punto de vista de la relatividad general, estas ecuaciones solo pueden ser correctas en un sistema localmente inercial.
Para generalizarlas sencillamente transformamos la derivada ordinaria a una derivada covariante de manera que las ecuaciones sean invariantes ante una transformación generalizada de coordenadas:
Y así, contrayendo dos índices de esta ecuación se obtiene la derivada covariante que aparece en la ecuación de Maxwell con la fuente.
El caso recién mencionado constituye una aplicación del principio de equivalencia fuerte.
Más en general se podría, al generalizar la teoría física, acoplar el objeto físico de interés con elementos que describen la curvatura del espacio-tiempo, de manera tal de que cuando se vuelve al sistema de referencia localmente inercial esos elementos de la curvatura se anulan y se vuelve a recuperar las ecuaciones.
En este caso se estaría aplicando el principio de equivalencia débil.
Inicialmente Einstein y otros científicos buscaron una teoría del campo gravitatorio a partir de una teoría relativista del potencial gravitatorio.
La teoría de Nordström en esencia podía interpretarse como una curvatura del espacio tiempo de la forma: