[1] El teorema se aplica de manera más general a cualquier sistema formal suficientemente fuerte, y demuestra que la verdad en el modelo estándar de un sistema no se puede definir dentro del propio sistema.
A cada expresión del lenguaje formal de la aritmética se le asigna un número distinto.
Para diversas propiedades sintácticas (como ser una fórmula, ser una oración u otras), estos conjuntos son computables.
Además, cualquier conjunto computable de números puede definirse mediante alguna fórmula aritmética.
El teorema de indefinibilidad muestra que esta codificación no se puede realizar para conceptos semánticos como la verdad.
Muestra que ningún lenguaje interpretado suficientemente rico puede representar su propia semántica.
El metalenguaje incluye nociones, axiomas y reglas primitivas ausentes en el lenguaje objeto, de modo que hay teoremas demostrables en el metalenguaje que no son demostrables en el lenguaje objeto.
El teorema de indefinibilidad se atribuye convencionalmente a Alfred Tarski.
Si bien Gödel nunca publicó nada relacionado con su descubrimiento independiente de la indefinibilidad, sí lo describió en una carta de 1931 a John von Neumann.
Sin embargo, como destacó en el artículo, el teorema de indefinibilidad fue el único resultado que no obtuvo antes.
Esta es una teoría "primer orden": los cuantificadores se extienden a los números naturales, pero no a conjuntos o funciones de números naturales.
La teoría es lo suficientemente sólida como para describir funciones enteras definidas recursivamente como la exponenciación, los factoriales o la sucesión de Fibonacci.
y luego se vuelve verdadera o falsa.
Esto implica una limitación importante en el alcance de la autorrepresentación.
pero solo recurriendo a una metalenguaje cuyo poder expresivo vaya más allá del de
Definir un predicado de verdad para el metalenguaje requeriría un metametalenguaje aún superior, y así sucesivamente.
cuando se aplica a su propio número de Gödel, produce una afirmación falsa).
Si ahora se considera el número de Gödel
El teorema es un corolario del teorema de Post sobre la jerarquía aritmética, demostrado algunos años después del trabajo de Tarski (1933).
Tarski demostró un teorema más sólido que el expuesto anteriormente, utilizando un método enteramente sintáctico.
El teorema resultante se aplica a cualquier lenguaje formal con negación lógica y con capacidad suficiente para la autorreferencia que contenga el lema diagonal.
La aritmética de primer orden satisface estas condiciones previas, pero el teorema se aplica a sistemas formales mucho más generales, como los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
cualquier lenguaje formal interpretado que incluya la negación y tenga una numeración de Gödel
Pero el lema diagonal produce un contraejemplo a esta equivalencia, al dar una fórmula mentirosa
La maquinaria formal de la prueba dada anteriormente es totalmente elemental excepto por la diagonalización que requiere el lema diagonal.
La demostración del lema diagonal es también sorprendentemente sencilla, y por ejemplo, no implica recursión de ninguna manera.
Dichos lenguajes son necesariamente capaces de tener suficiente autorreferencia para que se les aplique el lema diagonal.
y la función de denotación semántica que asigna un término
El teorema de Tarski se generaliza entonces de la siguiente manera: Ningún lenguaje suficientemente poderoso es fuertemente semánticamente autorrepresentativo.
se puede definir mediante una fórmula en aritmética de segundo orden.