Para cada estructura matemática natural existe una simbología σ enumerando las constantes, funciones y relaciones de la teoría junto con sus aridades, de modo que el objeto sea naturalmente una estructura σ.
Dada una simbología σ existe un lenguaje de primer orden único Lσ que se puede utilizar para captar los hechos expresables de primer orden sobre la estructura γ.
Esto viene dado por un conjunto infinito de axiomas que establecen que hay al menos 2 elementos, hay al menos 3 elementos, y así sucesivamente: Estos axiomas definen la teoría de un conjunto infinito.
Las teorías de las relaciones de equivalencia no son tan difíciles ni interesantes, pero a menudo dan ejemplos o contraejemplos sencillos para diversas sentencias.
Las siguientes construcciones se utilizan a veces para producir ejemplos de teorías con ciertos espectros.
La simbología de órdenes no tiene constantes ni funciones, y solo un símbolo de relación binaria ≤ (por supuesto, es posible utilizar ≥, < o > en su lugar como relación básica, con los cambios menores obvios en los axiomas).
Lógica de grafos (editar | discusión | historial | enlaces | vigilar | registros | proteger | borrar) La simbología de grafos no tiene constantes ni funciones, y solo un símbolo de relación binaria R, donde R(x,y) se lee como "existe un enlace desde x a y".
Para cualquier álgebra booleana B, existen varios invariantes definidos de la siguiente manera: Entonces, dos álgebras booleanas son elementalmente equivalentes si y solo si sus invariantes l, m y n son iguales.
Cuerpos Los axiomas para anillos conmutativos más ∀x (¬ x = 0 → ∃y xy = 1) y ¬ 1 = 0.
Muchos de los ejemplos dados aquí solo tienen axiomas universales o algebraicos.
Dado que la simbología de los campos generalmente no incluye el inverso multiplicativo y aditivo, los axiomas de los inversos no son universales y, por lo tanto, una subestructura de un cuerpo cerrado bajo suma y multiplicación no siempre es un cuerpo.
Esto se puede solucionar añadiendo funciones inversas unarias al lenguaje.
Para cualquier entero positivo n, la propiedad de que todas las ecuaciones de grado n tienen una raíz se puede expresar mediante una única oración de primer orden: Cuerpos perfectos Los axiomas para los cuerpos, más los axiomas para cada número primo p que indican que si p 1 = 0 (es decir, el campo tiene característica p), entonces cada elemento del cuerpo tiene una raíz pésima.
Cuerpos algebraicamente cerrados de característica p Los axiomas para cuerpos, más para cada n positivo el axioma de que todos los polinomios de grado n tienen una raíz, y más los axiomas que fijan la característica.
El nombre es un poco engañoso, ya que la teoría tiene muchos modelos infinitos.
Cuerpos formalmente reales Los axiomas para campos más, para cada entero positivo n, el axioma: Es decir, 0 no es una suma de cuadrados no trivial.
Cuerpos p-ádicos Ax y Kochen (1965) demostraron que la teoría de los cuerpos p-ádicos es decidible y dio un conjunto de axiomas para ello.
[3] Los axiomas para varios sistemas de geometría suelen utilizar un lenguaje categorizado, y los diferentes tipos corresponden a diferentes objetos geométricos como puntos, líneas, círculos, planos, etc.
Si las variables de punto y línea recta se indican con letras minúsculas y mayúsculas, y "a" incidente con "A" se escribe como "aA", entonces un conjunto de axiomas es Euclides no estableció explícitamente todos los axiomas de la geometría euclidiana, y Hilbert dio la primera lista completa, conocida como los axiomas de Hilbert.
Tarski demostró que este sistema de axiomas es completo y decidible, relacionándolo con la teoría completa y decidible de los cuerpos cerrados reales.
Por razones técnicas relacionadas con la eliminación de cuantificadores, a veces es más conveniente forzar que el cuerpo constante sea perfecto agregando un nuevo símbolo r a la simbología con los axiomas: La teoría de los números naturales con una función sucesor tiene una simbología que consiste en una constante 0 y una función unaria S ("sucesor": S(x) es interpretado como x+1), y tiene los axiomas siguientes: El último axioma (inducción) puede ser reemplazado por los axiomas: La teoría de los números naturales con una función sucesor es completa y decidible, y es κ-categórica para incontables κ pero no para κ numerables.
Normalmente pueden codificar tanto la multiplicación como la suma de números naturales, y esto les da suficiente potencia para codificarse a sí mismos, lo que implica que se aplican los teoremas de incompletitud de Gödel y las teorías ya no pueden ser completas ni recursivamente enumerables (a menos que sean inconsistentes).
El caso n = 1 tiene aproximadamente la misma fuerza que la aritmética recursiva primitiva (ARP).
Para los números reales, la situación es ligeramente diferente: el caso que incluye solo la suma y la multiplicación no puede codificar los números enteros y, por lo tanto, los Teoremas de incompletitud de Gödel y el teorema de Tarski-Seidenberg no son aplicables.
Surgen complicaciones al agregar más símbolos de funciones (por ejemplo, la exponenciación).
La simbología normalmente será la simbología 0, S, +, × de la aritmética, junto con una relación de pertenencia ∈ entre números enteros y subconjuntos (aunque existen numerosas variaciones menores).