Compartió, con Simon B. Kochen, el séptimo Premio Frank Nelson Cole en Teoría de Números, que fue otorgado por una serie de tres artículos conjuntos[2] en Problemas diofantinos.
Pasó el año académico 1965-1966 en la Universidad de Harvard con una beca Guggenheim.
En 1970 fue orador invitado en el ICM en Niza con la charla "Trascendencia y geometría algebraica diferencial".
En la década de 1980, él y James Simons fundaron una empresa de finanzas cuantitativas, Axcom Trading Advisors,[4] que luego fue adquirido por Renaissance Technologies y renombrado como Medallion Fund.
Después de que Ax y su esposa se divorciaron, ella se volvió a casar con un hombre llamado Keating, y el joven Brian tomó el nombre del padrastro.