Hochschild escribió su tesis en 1941 en la Universidad de Princeton con Claude Chevalley sobre Álgebra Semisimple y Derivaciones Generalizadas.
Entre 1956 y 1957 trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados.
En 1945, Hochschild introdujo la Homología de Hochschild, una teoría de homología para álgebras asociativas.
Junto con Bertram Kostant y Alex F. T. W. Rosenberg, trabajaron el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg que lleva su nombre.
[1] Entre sus estudiantes figuran Andrzej Białynicki-Birula y James Ax.