Es ampliamente aceptado que todo razonamiento de PRA es finitista.
El lenguaje de PRA puede expresar proposiciones aritméticas que involucren números naturales y cualquier función recursiva primitiva, incluidas las operaciones de suma, multiplicación y exponenciación.
PRA no permite cuantificar explícitamente sobre el dominio de los números naturales.
Por ejemplo, la caracterización más común de las funciones recursivas primitivas consiste en la clase que se obtiene al cerrar bajo la proyección, la sustitución y la recursión primitiva el conjunto de las funciones constante 0 y sucesor.
Todos los demás predicados recursivos primitivos se pueden definir a partir de estas dos funciones y de la cuantificación sobre los números naturales.
Es posible formalizar PRA de tal manera que no tenga ningún conector lógico: una oración de PRA sería solo una ecuación entre dos términos.
En este contexto, un término es una función recursiva primitiva de cero o más variables.Curry (1941) dio el primer sistema de este tipo.
La regla de inducción en el sistema de Goodstein es: Aquí x es una variable, S es la operación sucesor y F, G y H son funciones recursivas primitivas que pueden tener parámetros adicionales a los que se muestran.
Finalmente, hay símbolos para cada función recursiva primitiva con ecuaciones definitorias correspondientes, como en el sistema anterior de Skolem.
De esta manera, el cálculo proposicional puede descartarse por completo.
Los operadores lógicos se pueden expresar aritméticamente: por ejemplo, el valor absoluto de la diferencia de dos números se puede definir mediante recursividad primitiva: Así, las ecuaciones x = y y