Teorema de Zsigmondy

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide an - bn y no divide ak-bk por ningún entero positivo k 1 y n no es igual a 6, entonces 2n − 1 tiene un divisor primo que no divide ningún 2k − 1 con k < n. De manera similar, an + bn tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de 23 + 13 = 9.El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.[2]​[3]​ El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.una secuencia de enteros distintos de cero.El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjuntono tiene divisores primos primitivos{\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.}es decir, el conjunto de índicestal que cada primo dividiendoPor tanto, el teorema de Zsigmondy implica que, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci esEn 2001 Bilu, Hanrot y Voutier[4]​ demostraron que, en general, sies una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces(ver OEIS: A285314,[5]​ solo hay 13Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy[6]​ Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en