Teorema de Maxwell-Betti
La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad.
Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis: Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose
Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento).
, y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto i proyectado en la dirección de
se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de
Supongamos un sólido elástico inicialmente descargado, y que empezamos a cargarlo con una fuerza
Debido a las hipótesis expresadas anteriormente, existe proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos de modo que a un determinado incremento relativo de la fuerza le corresponde el mismo incremento relativo del desplazamiento, o lo que es lo mismo, la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento es constante.
Y por tanto, a la aplicación de una fuerza
sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas
Sean: Análogamente, El trabajo realizado por las cargas no depende del orden de aplicación de las mismas, por lo que basta considerar dos casos: Tal y como se ha dicho al principio, la energía de deformación no depende del orden de aplicación de las cargas por lo que igualando las expresiones obtenidas en los dos casos considerados:
Esta igualdad es la que da lugar al Teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse de la siguiente forma: En un sólido elástico y lineal, siendo
dos sistemas de cargas independientes, se establece que el "trabajo interno" realizado por el sistema de cargas
es igual al "trabajo interno" realizado por el sistema
coincide con la definición del coeficiente de influencia
se corresponde con el coeficiente de influencia recíproco al anterior, es decir,
Este teorema es de aplicación también en el caso de que no sean fuerzas sino momentos (o incluso fuerzas y momentos) las acciones aplicadas sobre el sólido elástico, en cuyo caso los desplazamientos serán sustituidos por el ángulo de rotación correspondiente.
Considérese pues que el efecto conjunto sobre el cuerpo deformable es suma de dos sistemas: Nótese que de los desplazamientos en un punto se considera únicamente su valor en la dirección de la carga que se aplica en tal punto.
debido a la carga aplicada en el punto
Debido a la linealidad del problema, es aplicable el principio de superposición.
Al aplicarse el sistema II, la fuerza
En esta última se debe considerar, además, que
actúa en todo momento con su valor máximo, por lo que no se incorpora el coeficiente de
Con lo que el trabajo total es la suma de ambos y vale:
Cuando se aplica el sistema II, la fuerza
Sumando lo previo, el trabajo total en este nuevo caso vale:
La demostración del caso general se puede así abordar de forma sencilla por simple inducción a partir de lo explicado en este apartado.
Previamente al teorema de Maxwell-Betti, en 1864, James Clerk Maxwell publicó un teorema denominado "Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos", al que contribuyeron notablemente los trabajos de otros científicos como Mohr y Clapeyron.
Se considera que este teorema da lugar al primer método de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas.
Se enuncia como sigue: Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que se produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B .
Como vemos, este teorema no es sino un caso particular del general, expresado mediante el Teorema de Maxwell-Betti, puesto que aquí únicamente se considera la actuación de una fuerza y no un conjunto de ellas.
