Teorema de De Bruijn
En un artículo de 1969, el matemático holandés Nicolaas Govert de Bruijn demostró varios resultados sobre cómo empaquetar ladrillos rectangulares congruentes (de cualquier dimensión) en cajas rectangulares más grandes, de tal manera que no quede espacio entre ellos.
Según este teorema, un "ladrillo armónico" (uno en el que la longitud de cada lado es un múltiplo del siguiente lado más pequeño) solo se puede empaquetar de forma compacta en una caja cuyas dimensiones sean múltiplos de las dimensiones del ladrillo.
[1] De Bruijn se vio obligado a demostrar este resultado después de que su hijo, que entonces tenía siete años, F. W. de Bruijn, no pudiera empaquetar ladrillos de dimensión
[2][3] El cubo tiene un volumen igual al de
Una forma de ver esto es dividir el cubo en
cubos más pequeños de tamaño
coloreados alternativamente en blanco y negro.
Por lo tanto, cualquier alicatado mediante ladrillos también debería tener el mismo número de celdas de cada color, algo que es imposible.
[4] El teorema de De Bruijn demuestra que un empaquetado perfecto (sin huecos) con estas dimensiones es imposible, de una manera más general que se aplica a muchas otras dimensiones de ladrillos y cajas.
Supóngase que una caja rectangular de dimensiones
(matemáticamente un cuboide) tiene longitudes laterales enteras
Si los lados del ladrillo se pueden multiplicar por otro conjunto de números enteros
, la caja se llama "múltiplo" del ladrillo.
Entonces, la caja se puede llenar con dichos ladrillos de forma trivial, con todos los ladrillos orientados de la misma manera.
[1] No todos los empaquetdos incluyen cajas cuyas sus dimensiones son todas múltiplos de las de los ladrillos.
se puede llenar con ladrillos rectangulares de
, aunque no con todos los ladrillos orientados de la misma manera.
Sin embargo, de Bruijn (1969) demostró que si los ladrillos pueden llenar la caja, entonces al menos uno de los
De Bruijn llama "armónico" a un ladrillo con esta propiedad.
Por ejemplo, los ladrillos más utilizados en EE.
(en pulgadas), que no son armónicas, pero un tipo de ladrillo vendido como "ladrillo romano" tiene dimensiones armónicas
[5] El teorema de De Bruijn establece que, si un ladrillo armónico se empaqueta en una caja, entonces la caja debe ser un múltiplo del ladrillo.
Por ejemplo, el ladrillo armónico tridimensional con longitudes de lados 1, 2 y 6 solo se puede empaquetar en cajas en las que uno de los tres lados sea múltiplo de seis y uno de los dos lados restantes sea par.
[1][6] Los empaquetados de un ladrillo armónico en una caja pueden implicar copias del ladrillo que giran entre sí.
Sin embargo, el teorema establece que las únicas cajas que se pueden empaquetar de esta manera son las cajas que también se pueden empaquetar mediante traslaciones del ladrillo.
[7] El tercero de los resultados de De Bruijn es que, si un ladrillo no es armónico, entonces hay una caja que se puede llenar y que no es un múltiplo del ladrillo.
proporciona un ejemplo de este fenómeno.
, colocados unos al lado de los otros.
Al girar una de estas dos cajas para que sus lados largos queden paralelos y colocarlas una al lado de la otra, se empaqueta una caja más grande con
Esta caja más grande es un múltiplo del ladrillo si y solo si el ladrillo es armónico.
