Teorema integral de Cauchy

En matemáticas, el teorema integral de Cauchy (también conocido como el teorema de Cauchy-Goursat) en el análisis complejo, es una declaración importante sobre integrales de línea para las funciones holomórficas en el plano complejo.Esencialmente, dice que si dos trayectorias diferentes conectan los mismos dos puntos, y una función es holomorfa por todas partes entre las dos trayectorias, entonces las dos integrales de la trayectoria de la función serán iguales.El teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja.El teorema se formula usualmente para caminos cerrados de la siguiente manera: SeanEntonces: Una versión precisa (homología) puede ser declarada utilizando números de devanado.que no está en la curva es la integral deEn lugar de un solo camino cerrado podemos considerar una combinación lineal de caminos cerrados, donde los escalares son enteros.Tal combinación se denomina cadena cerrada, y se define una integral a lo largo de la cadena como una combinación lineal de integrales sobre trayectos individuales.Una cadena cerrada se denomina ciclo en una región si es homóloga a cero en la región; Es decir, el número de devanado, expresado por la integral de 1/(z-a) sobre la cadena cerrada, es cero para cada punto 'a' no en la región.Esto significa que la cadena cerrada no enrolla alrededor de puntos fuera de la región.Un ejemplo es proporcionado por la región en forma de anillo.La versión permite la extensión del Teorema de Cauchy a las regiones conexas multiplicadas analíticamente.Posteriormente, Edouard Goursat demostró que no era necesario considerar la hipótesis de que la derivada defuera continua para asegurar que el valor de la integral sea cero.Como demostró Édouard Goursat, el teorema integral de Cauchy puede demostrarse asumiendo sólo que la derivada compleja f '(z) existe en todas partes de U.La condición de que U sea simplemente conexo significa que U no tiene "agujeros" o, en términos de homotopía, que el grupo fundamental de U 'es trivial; Por ejemplo, cada disco abierto, parametrización que traza el círculo unitario, y luego la integral del trayecto: la cual no es cero.El teorema integral de Cauchy no se aplica aquí ya queUna consecuencia importante del teorema es que las integrales de trayectoria de funciones holomorfas en dominios simplemente conexos se pueden calcular de una manera familiar del teorema fundamental del cálculo real: sea U un subconjunto abierto simplemente conexo de C, sea f: U → C sea Una función holomorfa, y sea γ una trayectoria continuamente diferenciable por partes en U con el punto inicial a y el punto final b.Si F es una compleja antiderivada de f, entonces: A partir del teorema de Cauchy-Goursat, se pueden demostrar proposiciones como la siguiente: Seaun contorno cerrado simple, y en el interior deDebe satisfacer las Ecuaciones de Cauchy-Riemann en la región delimitada por, y además en el barrio abierto "U" de esta región.en sus componentes reales e imaginarios: En este caso tenemos que: Por el teorema de Green, podemos entonces reemplazar las integrales alrededor del contorno cerradocomo sigue: Sin embargo, siendo las partes real e imaginaria de una función holomorfa en el dominio