En general un álgebra de Clifford C es un álgebra simple central sobre una cierta extensión del cuerpo L del cuerpo K sobre el cual se define la forma cuadrática Q que define a C. Tendremos que estudiar matrices anticonmutativas (AB = -BA) porque en las álgebras de Clifford los vectores ortogonales anticonmutan Para las álgebras de Clifford reales Rp, q se necesitan p + q matrices mutuamente anticonmutantes, de las cuales p tienen +1 como cuadrado y q tienen −1 como cuadrado.
Primero presentamos un método cómodo para nombrar matrices 2n x 2n Nótese que K0 es la matriz identidad.
Éstas no son las mismas relaciones que valen para la base estándar de los cuaterniones.
Con esta notación es muy fácil multiplicar matrices cuadradas grandes puesto que Resolvamos un ejemplo
Comience con un conjunto existente {K1, K2, K3} Inserte un nuevo índice constante (por ejemplo un 1 en la primera posición) y se obtiene {K11, K12, K13} Entonces agregue dos matrices más que anticonmuten en el nuevo nivel y conmuten en el viejo nivel (por medio del índice cero 0) Se consigue {K11, K12, K13, K20, K30} Otros ejemplos
p = 2 y q = 0 por tanto necesitamos 2 Kplus como vectores base grado 0 (el escalar) grado 1 (los vectores) grado 2 (el pseudoescalar) n = p + q = 2 y se tienen 2² = 4 elementos así que es lo que I. Portious llama un álgebra universal de Clifford.
(el dual de Hodge de cada elemento es simplemente menos el original) p = 0 y q = 2 necesitamos dos Kminus como vectores base, esto no es posible con matrices reales 2x2 así que necesitamos utilizar las matrices 4x4, tenemos muchas posibilidades.
Esta álgebra es otra vez isomorfa con H (los cuaterniones) grado 0 (el escalar)
Ésta es la famosa álgebra de Pauli, si se piensa en K02 como i y K00 como 1.