Las pistas que se tienen sobre Bombelli solo son las proporcionadas en el prefacio de su libro seminal, El álgebra, la mayor parte de la aritmética (1572).

Rafael fue el primero de seis hijos.

En su formación pasaron a tomar parte las cuestiones matemáticas discutidas en aquel tiempo: leyó las obras de Gerolamo Cardano y siguió la disputa entre Nicolás Tartaglia y un estudiante de Scipione dal Ferro (Antonio Maria del Fiore), sobre la resolución de la ecuación de tercer grado.

También estudió arquitectura e ingeniería bajo la dirección de Pier Francesco Clementi, más adelante ejercería esta actividad con el patrocinio de Alejandro Ruffini, un noble romano que luego se convertiría en obispo de Menfi.

Esta realización le proporcionó una gran fama como ingeniero hidráulico.

En 1561 estuvo en Roma, pero no intervino en la empresa para reparar el puente de Santa María.

En Roma pudo ver el manuscrito de la Arithmetica de Diofanto; entonces Bombelli emprendió su traducción junto con Antonio María Pazzi.

A pesar de que el trabajo nunca se completó, el material fue utilizado en la revisión de su libro sobre álgebra.

Su obra estaba previsto que apareciera en cinco volúmenes: los tres primeros fueron publicados en 1572 (con el título completo L'Algebra, opera di Rafael Bombelli da Bologna, divisa in tre libri con la quale ciascuno da sé potrà venire in perfetta cognitione della teoría dell'Aritmetica (-El Álgebra de Rafael Bombelli de Bolonia, dividido en tres libros en los que cada uno por sí mismo puede estar en perfecto conocimiento de la teoría de la Aritmética-), mientras que el cuarto y quinto, sobre geometría, permanecieron en forma de manuscritos, debido a la muerte prematura de Bombelli.

Luego examina las raíces imaginarias (que él llamó "cantidad salvaje") y los números complejos ("más de menos" y "menos de menos" por +i e -i), estableciendo las reglas de cálculo (suma y multiplicación).

Introduce, particularmente, los exponentes para indicar las potencias desconocidas.

El trabajo constituye el resultado más maduro del álgebra del siglo XVI, transformándose durante más de un siglo en el texto de álgebra superior más autorizado.

A través del estudio de este tratado, Leibniz completó su propia educación matemática.

Bombelli usó fracciones continuas para calcular raíces cuadradas.

El método da la siguiente fracción continua convergente para

de valor 3.605551275... : El último converge a 3.605550883... .

, usado por Arquímedes en su determinación del valor de