Postulado de Bertrand
El postulado de Bertrand dice que si n > 1 es un entero, entonces existirá al menos un número primo p con n < p < 2n.
Otra formulación más débil pero más elegante es: Este postulado fue inicialmente formulado en 1845 por Joseph Bertrand (1822-1900).
Ramanujan (1887-1920) dio una demostración más simple.
Para ver una demostración del postulado, ver el artículo Demostración del postulado de Bertrand.
El teorema de los números primos implica que el número de números primos hasta x es aproximadamente x/ln(x), por lo que si se reemplaza x por 2x entonces se observa que el número de primos hasta 2x es asintóticamente el doble del número de primos hasta x (los términos ln(2x) y ln(x) son asintóticamente equivalentes).
Por lo tanto, el número de primos entre n y 2n es aproximadamente n/ln(n) cuando n es grande, por lo que en particular hay muchos más números primos en este intervalo de los que garantiza el postulado de Bertrand.
Pero este último es un teorema profundo, mientras que el Postulado de Bertrand se puede enunciar de manera más memorizable y demostrar más fácilmente, y también hace afirmaciones precisas sobre lo que sucede para valores pequeños de n. Además, el teorema de Chebyshov se demostró antes que el teorema de los números primos y, por lo tanto, tiene interés histórico.
La conjetura de Legendre, un enunciado similar aún sin resolver, pregunta si para cada n ≥ 1, hay un primo p, tal que n2 < p < (n + 1)2.
De nuevo, se puede esperar que no haya uno sino muchos primos entre n2 y (n + 1)2, pero en este caso el teorema de los números primos no sirve de ayuda: el número de primos hasta x2 es asintótico a x2/ln(x2) mientras que el número de primos hasta (x + 1)2 es asintótica a (x + 1)2/ln((x + 1)2), que a su vez es asintótica a la estimación de números primos hasta x 2.
Entonces, a diferencia del caso anterior de x y 2x, no se obtiene una prueba de la conjetura de Legendre ni para todos los n grandes.
En 1919, Ramanujan (1887–1920) utilizó las propiedades de la función gamma para ofrecer una prueba más sencilla.
[2] El breve artículo incluía una generalización del postulado, del que luego surgiría el concepto de números primo de Ramanujan.
Se han obtenido otras generalizaciones del postulado de Bertrand utilizando métodos elementales.
En el ejemplo dado a continuación, n recorre el conjunto de los enteros positivos.
En 2006, M. El Bachraoui demostró que existe un número primo entre 2n y 3n.
[3] En 1973, Denis Hanson demostró que existe un número primo entre 3n y 4n.
[4] Además, en 2011, Andy Loo demostró que como n tiende a infinito, el número de números primos entre 3n y 4n también tiende a infinito,[5] generalizando así los términos de los resultados de Erdős y de Ramanujan (consúltese la sección sobre los teoremas de Erdős a continuación).
El primer resultado se obtiene con métodos elementales.
El segundo se basa en los límites analíticos de la función factorial.
Sylvester (1814-1897) generalizó el enunciado más débil según la proposición: el producto de k enteros consecutivos mayores que k es divisible por un primo mayor que k. El postulado (más débil) de Bertrand se sigue de este enunciado tomando k = n, y considerando los números k'n + 1, n + 2, hasta n + k= 2n, donde n > 1.
De acuerdo con la generalización de Sylvester, uno de estos números tiene un factor primo mayor que k. Dado que todos estos números son menores que 2(k + 1), el número con un factor primo mayor que k tiene solo un factor primo y, por lo tanto, es primo.
Téngase en cuenta que 2n no es primo y, por lo tanto, ahora se sabe que existe un primo p con n < p < 2n.
In 1932, Erdős (1913-1996) también publicó una prueba más simple usando coeficientes binomiales y la función de Chebyshov θ, definida como: donde p ≤ x se considera sobre los números primos.
Consúltese la demostración del postulado de Bertrand para obtener más detalles.
tiende a infinito (y, en particular, es mayor que 1 para
[7] También se han probado los límites no asintóticos.
[9] En su tesis doctoral de 1998, Pierre Dusart mejoró el resultado anterior, mostrando que para
[10] En 2010, Pierre Dusart de nuevo demostró que para
[11] En 2016, otra vez Pierre Dusart mejoró su resultado de 2010, demostrando (Proposición 5.4) que, si
Baker, Harman y Pintz demostraron que existe un primo en el intervalo
