Número primo de Ramanujan

En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand, demostrado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894).[1]​ Al final de las dos páginas del documento publicado, Ramanujan deduce el siguiente resultado generalizado: dondees la función contador de números primos, igual a la cantidad de números primos menores o iguales a x.debe aumentar mediante la obtención de otro primo en x = Rn.Cuando n tiende a infinito, Rn es asintótico respecto al primo 2enésimo, por ejemplo, Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009),[3]​ excepto para el límite superior Rn < p3n que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010).[4]​ El valor de contorno fue mejorada por Sondow, Nicholson, y Noe (2011)[5]​ hasta convertirse en la expresión: forma óptima para Rn ≤ c·p3n que se convierte en una igualdad para n = 5.En una dirección diferente, Axler[6]​ demostró que es óptima para t > 48/19, dondePara valores grandes de n, el valor de contorno es más pequeño y por lo tanto mejor queDada una constante c entre 0 y 1, el enésimo c-primo de Ramanujan es definido como el menor entero Rc,n con la propiedad de que para cualquier entero x ≥ Rc,n haya al menos n primos entre cx y x, esto es,En particular, cuando c = 1/2, el enésimo 1/2-primo de Ramanujan es igual al enésimo primo de Ramanujan: R0.5,n = Rn.Para c = 1/4 y 3/4, la secuencia de c-primo de Ramanujan comienza como Es sabido[8]​ que, para todo n y c, el enésimo c-primo de Ramanujan Rc,n existe y es en efecto primo.Esto es muy útil para demostrar que el número de números primos en el rango [pk, 2pi−n] es mayor que o igual a 1.Teniendo en cuenta el tamaño de los huecos entre los números primos en [pi−n,pk], puede verse que el hueco promedio entre primos es de ln(pk) usando la aproximación siguiente: Rn/(2n) ~ ln(Rn).El menor i − n primo es pi−n = 9719, y por lo tanto 2pi−n = 2 × 9719 = 19438.La secuencia A165959 es el rango del menor primo mayor que pk.El Primer Corolario Ramanujan es debido a John Nicholson.El lema de Srinivasa[9]​ establece que pk−n < pk/2 si Rn = pk y  n > 1.Prueba: Por la minimalidad de Rn, el intervalo (pk/2,pk] contiene exactamente n primos y por lo tanto pk−n < pk/2.