En matemáticas, el postulado de Bertrand (ahora un teorema) establece que, para cada
Fue conjeturado por primera vez en 1845 por Joseph Bertrand, [1] pero la primera demostración la dio Chebyshev, y Ramanujan dio una prueba más corta pero también más avanzada.
[3] La idea básica es demostrar que los coeficientes binomiales centrales
Los pasos principales de la demostración son los siguientes.
en la descomposición en factores primos del coeficiente binomial central
Dado que el crecimiento asintótico del coeficiente binomial central es al menos
, la conclusión es que, por contradicción, y para valores de
suficientemente grandes, el coeficiente binomial debe tener otro factor primo, que sólo puede estar entre
(es decir, esto es lo que significa en el anterior párrafo "para valores de
que los números primos siguen el patrón descrito: que siempre haya uno entre cada número y su doble), y con esto se acaba la demostración.
La prueba utiliza los cuatro lemas siguientes para establecer hechos sobre los primos presentes en la descomposición en factores primos de los coeficientes binomiales centrales
se satisface que Demostración: Aplicando el teorema del binomio de Newton, donde se ha usado en el último paso que
es el término más grande en la suma en el lado izquierdo (incluido el
, Pero cada término del último sumatorio sólo puede ser cero (si la parte fraccionaria
Por lo tanto, eliminando del sumatorio todos estos últimos términos y usando que los
que quedan valen como mucho uno, y, reordenando los términos, Si
Los dos factores del numerador se cancelan con los denominador, por lo que en
es demasiado grande para ser un factor del numerador, y la hipótesis de que
Se proporciona un límite superior para la función primorial, donde, a diferencia del factorial, el producto se toma de todos los números primos
, de manera que se cumple el enunciado para los casos base.
Supongamos que la desigualdad se cumple para todos
(que no es primo), es decir, es el mismo producto usado para calcular
Supongamos que hubiera un contraejemplo: un entero n ≥ 2 tal que no existe ningún primo p con n < p < 2n .
Si 2 ≤ n < 427, entonces p puede elegirse entre los números primos 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631 (cada número de la lista es el mayor número primo entre el anterior de la lista y su doble) de forma que n < p < 2n.
o no), usando el lema 2 para unos y el anterior párrafo para los otros, y finalmente usando lema 4, obtenemos que: Despejando, Tomando logaritmos y despejando obtenemos que necesariamente Ahora es sencillo comprobar que esta desigualdad es falsa para cualquier supuesto contraejemplo
Una manera de hacerlo es observar que no se satisface para
el izquierdo crece más rápido, por lo que la desigualdad no puede ser nunca cierta.
la desigualdad sí que se satisface; hemos tenido que verificar esos primeros casos por inspección porque este mismo argumento no se sostendría si
Así, hemos llegado a la conclusión de que no pueden existir contraejemplos al postulado de Bertrand: ni pequeños (menores a
), por inspección directa, ni grandes, por el argumento que acabamos de dar.