Politopo regular

La fuerte simetría de los politopos regulares les otorga una cualidad estética que interesa a los matemáticos.Los cinco sólidos Platónicos fueron unidos, hacia la mitad del segundo milenio, por los poliedros de Kepler-Poinsot.A los antiguos matemáticos griegos se les atribuye normalmente el descubrimiento de los poliedros regulares.Se puede argumentar, sin embargo, que la construcción de esta forma fue inspirada por el piritoedro (mencionado más adelante en este artículo), pues los minerales de pirita son relativamente abundantes en esa parte del mundo.Previamente aún a los Etruscos, se han encontrado, en Escocia piedras talladas con formas que muestran la simetría de los cinco sólidos platónicos.Algunos autores (Sanford, 1930) atribuyen a Pitágoras (550 a. C.) la caracterización de los sólidos platónicos, mientras que otros indican que solamente tuvo conocimiento del tetraedro, el cubo y el dodecaedro, correspondiendo el descubrimiento de los otros dos a Teateto, quién formuló una descripción matemática de los cinco (Van der Waerden, 1954), (Euclides, libro XIII).Por casi 2000 años, el concepto de un politopo regular permaneció tal y como lo desarrollaron los antiguos matemáticos griegos.Se puede caracterizar la definición griega como sigue: Esta definición descarta, por ejemplo, a la pirámide cuadrada en la cual aunque todas las caras son regulares, la base cuadrada no es congruente a los lados triangulares, o en la figura formada al unir dos tetraedros por una de sus caras dónde aunque todas las caras son triángulos equiláteros regulares e iguales entre sí, algunos vértices unen tres triángulos y otros cuatro.Los poliedros estrellados regulares son llamados sólidos de Kepler-Poinsot en honor a Johannes Kepler y Louis Poinsot.Estas figuras contienen polígonos regulares no-convexos, llamados pentagramas, formando caras que rodean los vértices.No fue hasta el siglo XIX cuando un matemático suizo, Ludwig Schläfli, examinó y caracterizó los politopos regulares de más dimensiones.Entre 1880 y 1900, los resultados de Schläfli fueron redescubiertos independientemente por al menos otros nueve matemáticos (ver (Coxeter, 1948, pp.Las restricciones, sin embargo, son suficientemente laxas para que teselaciones regulares, hemicubos, y aún objetos extraños como el 11-cell o aún más extraños, sean todos ejemplos de politopos regulares.La forma tradicional de construir un polígono regular, o cualquier otra figura del plano, es mediante regla y compás.La palabra "construcción", tal como se la emplea en geometría, tiene la connotación de seguir un procedmiento sistemático para crear la cosa a construir.La forma más común de construir un poliedro regular es mediante despliegue o desdoblamiento.Para obtener el desdoblamiento de un poliedro, se toma la superficie del poliedro y se hacen cortes a lo largo del número de aristas suficiente para que la superficie pueda yacer plana.Aquí (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).y aquí, por ejemplo, hay instrucciones para construir modelos empleando técnicas de origami.Desafortunadamente, no será posible hacer el doblado de la estructura necesario para obtener un politopo tetradimiensional, dadas las restricciones del universo físico.Moviendo el hiperplano a través de la forma, las "rebanadas" tridimensionales pueden combinarse y animarse en una suerte de objeto tetradimensional, donde la cuarta dimensión vendría a ser el tiempo.El ideal sería un holograma animado de cualquier tipo; sin embargo, aún una simple animación tal como la que se muestra puede ofrecer alguna apreciación limitada de la estructura del politopo.Para entender como trabajaría este método, imagine lo que vería si el espacio estuviera lleno con cubos.Un ejemplo puede verse en esta página (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última)..En el mundo de los minerales, los cristales a menudo tienen caras triangulares, cuadradas o hexagonales.Sin embargo, las medusas la presentan, usualmente cuádruple (como el cuadrado) u óctuple.Yendo de la tierra al espacio, matemáticos pioneros realizaron cálculos usando la ley de gravitación de Newton que establece que si dos cuerpos (tales como el Sol y la Tierra) orbitan el uno al otro, existen ciertos puntos en el espacio dónde un cuerpo más pequeño (tal como un asteroide o una estación espacial) permanecerá en una órbita estable, siguiendo por ejemplo a la Tierra pero nunca escapando o "retrasándose".Por ahora se han usado sobre todo para la observación solar y la sonda más famos situada en uno de esos puntos ha sido la SOHO.Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra.Al margen, en tiempos antiguos los pitagóricos creyeron que había una armonía entre los poliedros regulares y las órbitas de los planetas.