Polinomios de Macdonald

En matemáticas, los polinomios de Macdonald Pλ(x; t,q) son una familia de polinomios ortogonales simétricos en varias variables, introducidos por Macdonald en 1987.Más tarde introdujo una generalización no simétrica en 1995.Los polinomios de Macdonald son polinomios en n variables x=(x1,...,xn), donde n es el rango del sistema de raíces afines.Tienen relaciones profundas con álgebra de Hecke afín y con el esquema de Hilbert, que se utilizaron para probar varias conjeturas hechas por Macdonald sobre ellos.Primero, para manejar con mayor facilidad las expresiones, debe establecerse una notación específica: Los polinomios de Macdonald Pλ para λ ∈ P+ están definidos únicamente por las siguientes dos condiciones: En otras palabras, los polinomios de Macdonald se obtienen ortogonalizando la base obvia para AW.Una propiedad clave de los polinomios de Macdonald es que son ortogonales: 〈Pλ, Pμ〉 = 0 siempre que λ ≠ μ.La ortogonalidad se puede probar mostrando que los polinomios de Macdonald son vectores propios para un álgebra de conmutación de operadores autoadjuntos con espacios propios unidimensionales, y utilizando el hecho de que los espacios propios para diferentes valores propios deben ser ortogonales.También se puede extender la definición al sistema raíz no reducido BC, en cuyo caso se obtiene una familia de seis parámetros (una t para cada órbita de las raíces, más q) conocida como los polinomios de Koornwinder.En este caso, hay un parámetro t asociado a cada órbita de raíces en el sistema de raíces afines, más un parámetro q.La conjetura había sido probada previamente caso por caso para todos los sistemas de raíces excepto los del tipo En por varios autores.Macdonald conjeturó que los coeficientes de Kostka y Macdonald eran polinomios en q y t con coeficientes enteros no negativos.Por ejemplo, si μ es la partición 3 = 2 + 1 de n = 3 entonces los pares (pj, qj) son (0, 0), (0, 1), (1, 0), y el espacio Dμ está dividido por que tiene dimensión 6 = 3!.Los resultados anteriores de Haiman y Garsia ya habían demostrado que esto implicaba la conjetura n!, y que la conjetura n!La fórmula de Macdonald es diferente a la del trabajo de Haglund, Haiman y Loehr, con muchos menos términos (esta fórmula también se demuestra en el trabajo seminal de Macdonald,[3]​ Ch. VI (7.13)).Si bien es muy útil para el cálculo e interesante por derecho propio, sus fórmulas combinatorias no implican inmediatamente la positividad de los coeficientes, son donde σ es un relleno del diagrama de Young de forma μ, inv y maj son ciertas estadísticas combinatorias (funciones) definidas en el relleno σ.Esta fórmula expresa los polinomios de Macdonald en infinitas variables.Para obtener los polinomios en n variables, basta con restringir la fórmula a rellenos que solo usen los números enteros 1, 2, ..., n. El término xσ debe interpretarse comoen la fórmula anterior están relacionados con los polinomios de Macdonald clásicosque permite eliminar los denominadores de los coeficientes: dondedenotan el brazo y la pierna del cuadradoSe tiene que donde La notación de paréntesis anterior denota la sustitución pletística.Esta fórmula se puede usar para probar la fórmula de Knop y Sahi para los polinomios de Jack.En su definición original, muestra que los polinomios de Macdonald no simétricos son una familia única de polinomios ortogonales con respecto a un cierto producto interno, así como satisfacer una propiedad de triangularidad cuando se expande en la base del monomio.En 2007, Haglund, Haiman y Loehr dieron una fórmula combinatoria para los polinomios de Macdonald no simétricos.Desarrollan el concepto de una cola multilíneal, que es una matriz que contiene bolas o celdas vacías junto con una aplicación entre las bolas y sus vecinas y un mecanismo de etiquetado combinatorio.El polinomio de Macdonald no simétrico entonces satisface: donde la suma es sobre todas las colas multilínealeses una función de ponderación que asigna esas colas a polinomios específicos.El polinomio simétrico de Macdonald satisface: donde la suma exterior se aplica sobre todas las composiciones distintas