Polígono de Reinhardt
Al igual que en los polígonos regulares, cada vértice de un polígono de Reinhardt participa en la definición de al menos un diámetro del polígono.
Existen polígonos de Reinhardt con
lados, a menudo con múltiples formas, siempre que
no sea una potencia de dos.
lados, los polígonos de Reinhardt tienen el mayor perímetro posible para su diámetro, el mayor ancho posible para su diámetro y el mayor ancho posible para su perímetro.
Llevan el nombre de Karl Reinhardt, quien los estudió en 1922.
[1][2] Un polígono de Reuleaux es una forma convexa con lados de arco circular, cada uno centrado en un vértice de la forma y todos tienen el mismo radio; un ejemplo es el triángulo de Reuleaux.
Estas formas son curvas de ancho constante.
Algunos polígonos de Reuleaux tienen longitudes de lados que son múltiplos irracionales entre sí, pero si un polígono de Reuleaux tiene lados que se pueden dividir en un sistema de arcos de igual longitud, entonces el polígono formado como envolvente convexa de los extremos de estos arcos es un polígono de Reinhardt.
Necesariamente, los vértices del polígono de Reuleaux subyacente también son puntos finales de arcos y vértices del polígono de Reinhardt, pero el polígono de Reinhardt también puede tener vértices adicionales, dentro de los lados del polígono de Reuleaux.
es un número impar, entonces el polígono regular con
lados es un polígono de Reinhardt.
Cualquier otro número natural debe tener un divisor
impar, y se puede formar un polígono de Reinhardt con
lados subdividiendo cada arco de un polígono de Reuleaux regular con
lados, pero todos los demás valores de
tienen polígonos de Reinhardt con múltiples formas.
, a partir del cual se pueden calcular las dimensiones del polígono.
Si la longitud del lado de un polígono de Reinhardt es 1, entonces su perímetro es solo
El diámetro del polígono (la distancia más larga entre dos de sus puntos) es igual a la longitud del lado de estos triángulos isósceles,
Las curvas de ancho constante del polígono (la distancia más corta entre dos rectas de soporte paralelas) es igual a la altura de este triángulo,
Estos polígonos son óptimos de tres formas: La relación entre perímetro y diámetro para estos polígonos fue probada por Reinhardt,[4] y redescubierta de forma independiente varias veces.
[5][6] La relación entre diámetro y ancho fue probada por Bezdek y Fodor en 2000; su trabajo también investiga los polígonos óptimos para este problema cuando el número de lados es una potencia de dos (para los cuales los polígonos de Reinhardt no existen).
lados son simétricos: se pueden rotar en un ángulo de
para obtener el mismo polígono.
Los polígonos de Reinhardt que tienen este tipo de simetría rotacional se denominan "periódicos", y los polígonos de Reinhardt sin simetría rotacional se denominan "esporádicos".
tiene dos factores primos impares distintos y no es el producto de estos dos factores, también existen polígonos de Reinhardt esporádicos.
es el factor primo más pequeño de
, el número total de polígonos de Reinhardt está dominado por los esporádicos.
(contando dos polígonos como iguales cuando se pueden rotar o reflejar para hacerse corresponder entre sí) son: [1]
