Proyección isométrica
Una proyección isométrica es un método de representación gráfica, más específicamente una axonométrica[1] cilíndrica[2] ortogonal.
[3] Constituye en una representación visual de un objeto tridimensional que se reduce en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120°, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual al tiempo", y al castellano "igual medida" ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).
Formalizado en primer lugar en 1822 por el profesor William Farish (1759-1837), el concepto de isometría había existido en una forma empírica más o menos aproximada desde siglos antes.
[5][6] Desde mediados del siglo XIX, la isometría se convirtió en una «herramienta inestimable para los ingenieros, y poco después la axonometría y la isometría fueron incorporadas en el plan de estudios de los cursos de formación de arquitectura en Europa y los EE.UU.»[7] Según Jan Krikke (2000),[8] sin embargo, «la axonometría se originó en China.
La axonometría, y la gramática pictórica que va con ella, ha adquirido una nueva significación con el advenimiento de la computación visual».
[8] Como todos los tipos de proyección paralela, los objetos dibujados con proyección isométrica no aparecen mayores o menores a medida que se alejen o acerquen al espectador.
Mientras es ventajosa para los dibujos arquitectónicos, en los que las mediciones deben ser tomadas directamente, el resultado es una distorsión de la percepción, ya que a diferencia de la proyección de perspectiva, no es cómo funciona normalmente la visión humana o la fotografía.
También puede dar lugar fácilmente a situaciones en las que la profundidad y la altura son difíciles de medir, como se muestra en la imagen de la derecha.
Esto puede parecer paradójico o crear formas imposibles, como las escalera de Penrose.
La isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ángulo, es decir, 120° entre sí.
Los objetos se muestran con una rotación del punto de vista de 30° en las tres direcciones principales (x, y, z).
Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto.
Al ser la reducción idéntica en los tres ejes el dibujo isométrico se realiza sin reducción, con las dimensiones paralelas a los ejes a escala 1:1 o escala natural, sin que cambie la apariencia del dibujo salvo en su tamaño.
La apariencia del dibujo es idéntica aunque más grande, y las dimensiones que en la perspectiva correcta serían iguales a las reales (las paralelas al plano de proyección) son mayores.
En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales.
Una pieza con movimiento mecánico presenta en general formas con ejes de simetría o caras planas.
Tales ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyección ortogonal.
A estas vistas generalmente se les denomina como: planta, elevación y perfil.
Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva isométrica o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4".
Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.
El progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas, basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.
Siendo la perspectiva isométrica una proyección geométrica sobre un plano según un eje perpendicular al mismo, sus características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente mediante la trigonometría.
Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una longitud equivalente al coseno de α.
Se llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de proyecciones ortogonales.
Por otro lado, si se considera el círculo unitario del plano (x,y), el rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primera bisectriz del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k1 = 1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.
Suponiendo un espacio provisto de una base ortonormal directa
La proyección P se realiza según el vector
a la base ortonormal directa sobre el plano de proyección.
La aplicación particular del cálculo a las proyecciones ortogonales en la perspectiva isométrica resulta: La matriz de la proyección MP es en consecuencia:
