El círculo más grande es tangente a una superficie horizontal (por ejemplo, una carretera) sobre la que puede rodar.El círculo más pequeño podría representar el talón de un neumático, una llanta sobre la cual está montado, un eje, etc. Supongamos que los círculos más grandes ruedan sin deslizarse (o patinar) para una revolución completa.Las distancias recorridas por ambos círculos son de la misma longitud, como se muestra en las líneas discontinuas azules y rojas.Cuando AB se vuelve perpendicular a HK, al mismo tiempo, AΓ se vuelve perpendicular a ZΛ, de modo que siempre habrá completado una distancia igual, es decir, HK para la circunferencia HB, y ZΛ para ZΓ.Además, es notable que, aunque en cada caso solo hay un movimiento, el centro que se mueve en un caso rueda una gran distancia y en el otro una distancia menor.Pero Mersenne quedó insatisfecha con su comprensión, escribiendo, De hecho, nunca he podido descubrir, y no creo que nadie más haya podido descubrir si el círculo más pequeño toca el mismo punto dos veces, o si avanza a pasos agigantados.Al imaginar que esta rueda hexagonal "rueda" sobre una superficie, Galileo se da cuenta de que el hexágono interior "salta" un poco de espacio, con cada rollo del hexágono exterior sobre una nueva cara.[4] Luego imagina lo que sucedería en el límite a medida que las caras de los números en el polígono se vuelven muy grandes, y encuentra que el poco espacio que el polígono interno "salta" se vuelve cada vez más pequeño, escribiendo: Por lo tanto, un polígono más grande con mil lados pasa por encima y mide una línea recta igual a su perímetro, mientras que al mismo tiempo el más pequeño pasa una línea aproximadamente igual, pero uno está compuesto de mil pequeñas partículas iguales a sus mil lados con una mil pequeños espacios vacíos interpuestos, ya que podemos llamarlos "vacíos" en relación con los mil linelets tocados por los lados del polígono.El autor de Falacias y paradojas matemáticas usa una moneda de diez centavos pegada a medio dólar con sus centros alineados, ambos fijos a un eje, como modelo para la paradoja.Esta solución considera la transición de las posiciones iniciales a las finales.Tanto Pb como Ps viajan por un camino cicloide mientras ruedan juntos una revolución.La imagen cercana muestra los círculos antes y después de girar una revolución.La curva del tablero azul muestra el movimiento de Pb.Si Pb y Ps estuvieran en cualquier otro lugar en sus respectivos círculos, las trayectorias curvas serían de la misma longitud.Si dicho centro se mueve, ambos círculos se mueven a la misma distancia, que es una propiedad necesaria de la traslación (geometría) y es igual a 2πR en el experimento.
Las líneas discontinuas son las circunferencias son la misma, pero también es evidente que una circunferencia es más pequeña que la otra. Entonces ¿dónde está la explicación?
Al cambiar las ruedas por
hexágonos
, nos da una pista reveladora sobre la paradoja. El hexágono grande deja una línea continua de su trayectoria, mientras que la del hexágono pequeño tiene espacios.
