Monge inició su carrera deportiva en las divisiones menores del Municipal Pérez Zeledón, equipo con el cual debutó en la Primera División para el torneo corto 2008-2009, cuando contaba con sólo 18 años.

En mayo de 2013, Monge anunció la posibilidad de jugar en un club de Suramérica,[5]​ aunque finalmente formalizó un contrato para jugar con el Club Sport Cartaginés por dos años, con una cláusula para poder negociar en el exterior.

[8]​ Después de su paso por el Deportivo Saprissa donde fue pieza importante para la obtención del título 32, Se rumoreaba que Néstor Monge sería jugador del Östersunds FK sin embargo el alto costo que el Deportivo Saprissa pidió imposibilitó que el jugador se fuera a Europa, al término de su contrato, Nestor se va al fútbol guatemalteco donde jugó una temporada para el Club Comunicaciones.

Néstor Monge debutó en la selección mayor de Costa Rica en el 2012 frente a Jamaica, su debut por el entrenador colombiano Jorge Luis Pinto, llegando a ser convocado a la Selección de fútbol de Costa Rica en varias ocasiones y en diferentes procesos, para el mundial 2014 estuvo en 6 partidos eliminatorios y para el proceso de Rusia estuvo en 2 partidos de eliminatoria, ha tenido participación en varios partidos amistosos, también ha estado en procesos de selecciones menores U-17 y U-23 .

[9]​ En enero del año 2019, el seleccionador Gustavo Matosas convoca a Monge a la selección para el partido vs Estados Unidos.