Elvey empezó su carrera artística a los 17 años de edad, como actor.
The Life Story of David Lloyd George, suprimida por razones políticas antes de su estreno en 1918, fue descubierta casualmente decenios después en los archivos de la familia Lloyd George.
Fue expuesta por vez primera en Cardiff en mayo de 1996, y se la consideró, tanto por la crítica como por los historiadores del cine, como una de las mejores películas mudas producidas en el Reino Unido.
En 1944 quedó encantado con Petula Clark cuando la vio actuar en el Royal Albert Hall, y lanzó la carrera cinematográfica de la actriz cuando la escogió para trabajar en su drama bélico Medal for the General.
Elvey estuvo casado tres veces, con la actriz Philippa Preston, la escultora Florence Hill Clarke, y la actriz Isobel Elsom, a la que conoció en el plató de The Wandering Jew en 1923.