Su padre era un empleado en la Secretaría de Farmacia aficionado a la poesía y llegó a publicar algunos poemas en el Diario de Madrid, mientras que su madre es posible que muriese hacia 1813, contando Leonardo con unos seis o siete años.

En ese año, Leonardo Alenza comienza a ilustrar con sus dibujos el Semanario Pintoresco Español de Mesonero Romanos y presenta en la exposición de la Academia seis caprichos.

Nuevas ilustraciones para la edición de Los españoles pintados por sí mismos, colaboraciones en prensa o participaciones en la exposición de la Academia, en la que llegó a ser profesor durante unos meses, marcan su etapa final.

Se conservan también buenas colecciones de sus dibujos en la Biblioteca Nacional, 466 en total.

Además, como grabador, en 1840 firmó una serie de aguafuertes titulados Caprichos con escenas costumbristas, y realizó al menos una litografía con diversos grupos de majos y manolas.