Con 17 años, Cobb marchó a Hollywood e hizo su debut en la película Boyhood Days formando parte del grupo Borrah Minevitch and His Harmonica Rascals.

En 1935, Cobb trabaja en el teatro bajo la dirección de Clifford Odets con dramas políticamente comprometidos como Waiting for Lefty y Till the Day I Die, compartiendo tablas con otros futuros insignes artistas como Elia Kazan, John Garfield o Martin Ritt.

Todo ello tendría consecuencias ya que Cobb y los anteriormente citados serían investigados por la Comisión de actividades antiamericanas (House Un-American Activities Committee) del senador Joseph McCarthy.

Su carrera se interrumpió en la Segunda Guerra Mundial cuando tuvo que servir en la Fuerza Aérea de Estados Unidos.

Como vemos, caracterizó a personajes violentos, canallas o sin escrúpulos morales en varios thrillers clásicos, melodramas negros y aventuras épicas.