[2]​ Amplió su formación en Múnich, Leipzig y París con una beca de la JAE.

Después de una corta estancia en Leipzig, continuó los mismos estudios en Múnich, asistiendo a las lecciones de geometría descriptiva y geometría proyectiva del profesor Doehlemann.

Por último, se trasladó a París, donde permaneció hasta fin de noviembre, en cuya fecha terminó su pensión.

Había traducido y anotado, en colaboración con su alumno Rey Pastor, también pensionado, la obra Vorlesungen über neure Geometrie de Moritz Pasch, que apareció en castellano prologada por el propio Pasch.

Con esta y otras aportaciones Álvarez contribuyó notablemente a la introducción de las nuevas ideas en geometría descriptiva en España.