Hormiga de Langton
[2] La idea ha sido generalizada de varias maneras, entre las que se encuentran turmites que agregan más estados, así como reglas para agregar nuevos colores, rejillas tridimensionales[3] o finitas.
[5] Solo se sabe que la trayectoria de la hormiga no tiene un límite, sin importar la configuración inicial, tal como lo demuestran Bunimovitch y Troubetzkoy.
Por lo tanto, debido a que la hormiga se mueve infinitamente, en algún momento ha de repetir un estado y a partir de este momento quedará atrapada infinitamente en un ciclo.
Además, como dicho ciclo es de longitud finita, tiene que ser acotado y por lo tanto tiene «esquinas», en particular debe tener esquinas «inferiores-izquierdas» es decir, celdas cuyas vecinas inferior e izquierda no forman parte del ciclo.
Al tomar una de estas esquinas, es posible ver que la segunda vez que el ciclo pasa por ella (el ciclo pasa por ella infinitas veces) su color es blanco si es una celda H (pues solo pudo haber entrado por su vecina derecha y girado 90° a favor de las manecillas del reloj para salir por su vecina superior) o negro si es una celda V (porque solo pudo haber entrado por su vecina superior y girado 90° en contra de las manecillas del reloj para salir por la derecha).
Greg Turk y Jim Propp propusieron que las reglas de la versión clásica fueran generalizadas para permitir que los cuadrados tomen más de dos colores,[7] en donde cada color está asociado a un sentido de giro (90° a la derecha «D» o 90° a la izquierda «I»).
Así, por ejemplo, la hormiga «DDII» se mueve en una rejilla bidimensional cuyas celdas se alternan entre cuatro colores, los dos primeros indican un giro a la derecha y los dos siguientes un giro a la izquierda, mientras que la versión clásica sería bajo esta nomenclatura la hormiga «DI».
La introducción de nuevos colores da lugar a comportamientos distintos a los observados en la versión clásica, por ejemplo, algunas hormigas como la «DDII» genera siempre patrones simétricos, mientras que otras, como la hormiga «DID» crece de forma caótica (de hecho, se desconoce si en algún momento llega a generar una avenida).
Esto quiere decir que el recorrido de una hormiga no está limitado a un espacio finito y, entre otras cosas, esto implica que ninguna hormiga genera caminos cíclicos repetitivos.
[7] Una consecuencia, también visible en los ejemplos con hormigas de longitud menor o igual a seis, es el hecho de que el número correspondiente a todas estas hormigas es divisible por tres, esto se ve explicado en que
[3] La idea consiste en añadir dos posibles sentidos de giro (90° hacia arriba «A» y 90° hacia abajo «B»), así cada color está asociado a uno de los cuatro posibles sentidos («I», «D», «A» o «B») y la hormiga se puede mover por fuera de su plano inicial.
Aun así, tras la colisión eventualmente vuelve a generar una nueva carretera.
